Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 30

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 154 >> Следующая

(включая член, соответствующий потреблению):
Здесь Dc (порядка 10" 5 см2/с при 37°С) и ?>р (согласно Уаймену (1966),
порядка 5-10" 7 см2/с при 37°С)-соответственно коэффициенты диффузии
свободного кислорода и комплекса МЬ02. Эти коэффициенты диффузии очень
трудно измерять внутри клетки; приведенные величины - лишь разумные
приближения, основанные на значениях для миоглобина в воде и учитывающие
влияние вязкости внутриклеточной жидкости. Эта модель предполагает, что в
метаболическом процессе непосредственно используется лишь свободный
кислород.
Что касается граничных условий для (2.45) и (2.46), в силу осевой
симметрии имеем
Это эквивалентно требованию конечности значений с и У при г = 0 (на оси
волокна). Если с-+0и (или) У-+ 0 для некоторого г > 0, условия
(2.47) больше неприменимы и должны быть заменены так называемыми
условиями Стефана. Мы вернемся к этому ниже в связи с условиями, которые
достигаются, когда волокно переходит в состояние кислородной
задолженности; там будут обсуждаться условия Стефана. На наружной границе
г = а мы имеем с = с0 и для У выбираем, как в разд. 2.2 и 2.4, У = У0,
где У0 будет определено. Вновь мы ожидаем, что при приведении к
безразмерному виду множителем при второй производной в соответствующих
уравнениях будет малый параметр е, так что мы сможем использовать простую
процедуру разд. 2.3. Таким образом, мы имеем
(2.45)
(2.46)
(2.47)
с = с0, У = У0 при г = а.
(2.48)
Продолжим теперь аналогично разд. 2.3, т. е. сложим (2.45) и (2.46),
проинтегрируем дважды, используя (2.47) и (2.48), и в результате получим
выражение У через с:
2.6. Модель мышечного дыхания: роль миоглобина
77
Подставляя это выражение в (2.44) и затем в (2.45), получим единственное
уравнение для с, соответствующее (2.17):
1 d ( dc
D^Tr\rTr
+ Ul с,
r я
k-i с,
У 3-0 4с,а
y0 +
-(г2-
4с, Dp а2)-
(г2 - а2) +
С0"с
с,Dp
/с_ j
СрР,
ctDp j
D
+
D"
Dc 2
c+ -^-c2. D"
(2.50)
Граничными условиями служат первое условие в (2.47) и первое условие в
(2.48), которое, как и ранее, является в некотором смысле условием
совместности.
Соответствующие безразмерные переменные суть
Фо<
г/а-,
(2-51)
в этих переменных уравнение (2.50) приводится к безразмерному виду
(аналог (2.19))
1 d
dcl
= (а + yr\) + (Р + Xrj)c 1 + 5с2,
Г1 dr! V 1 drx
где безразмерные параметры даны следующими выражениями:
(2.52)
qa2 , к. i а2с,У0 /с_10а4 к_ха2
coDc С<А ^ 4c0DcDp Dp
схкха2 1 - v , qa2 c0Dc~| i k_xa2
Dc ° 4c,Dp c,Dp J Dp
к. xqa4 kxa2c0 kxqa4
4c0DcDp 0 - , A - '¦ . Dp 4DcDp
(2.53)
Типичные значения для различных параметров в правых частях
(2.53), взятые из работ Уиттенберга (1970) и Риверос-Морено и Уиттенберга
(1972), представлены в табл. 2.4 вместе с оценками порядков величин Dc и
Dp, а соответствующие значения для а, р, у, 5 и л-в табл. 2.5 с
использованием, например, У0 = 0.9; истинное значение здесь по-прЬжнему
не является решающим.
Все безразмерные параметры в (2.53) вновь велики, хотя и не так, как в
предыдущих разделах. Так же как мы делали в (2.22), введем новые
параметры Ъ, d, е, /, g и малый параметр е:
а = d/г, Р = b/е, у = е/в,
5 = //е, X = g/е, е = 10 "3.
(2.54)
78
Гл. 2. Облегченная диффузия
Здесь d и g порядка 1, е порядка 10 ', а b и / порядка 10. С учетом
(2.54) уравнение (2.52) приводится (сравните с (2.23)) к виду
e7_'^_(ri^L) = <-d + ег+ (ь + 0ri)ci + /ci (155)
с граничными условиями из (2.47), (2.48) и (2.51)
dc
= 1 при rt = 1, -- = 0 при г, - 0. (2.56)
dv 1
Значение е, а именно 10" 3, примерно такой величины, которая допускается
в методе разд. 2.3 при точности, достаточной на практике для
Таблица 2.4
с, 2.8 -10~7 моль/см3
с0 (при 37°С) 3.5 10-8 моль/см3 (Ро2 ~ 20 мм рт. ст.) Dp (при 37°С) 5 -
10"1 см2/с Dc (при 37°С) 10"5 см2/с а 2.5 -10"3 см
/с_1 65 с'1
к1 2.4 -1010 см3/(моль с)
q 5-10-8 моль/(см3-с)
качественного анализа. Вновь последуем процедуре разд. 2.3 и получим
решение c(i0)(n) порядка 0(1) как приемлемое решение, обращающее в нуль
правую часть уравнения (2.52), т.е. (сравните с (2.26))
Sc1(r)*2 + (р + >.г2) с\0) 4- (а + у г?) = 0. (2.57)
Потребуем теперь, чтобы удовлетворяло первому из условий
(2.56);
полагая в (2.57) ct = г, = 1, получаем
S + (Р + X) + (а + у) = 0,
что после использования (2.53) определяет насыщение У0 на
границе
в виде
Таблица 2.5
а - 9.3 • 102 = - 0(Ю3)
Р - 7.0-103 = - О(10*)
У . " - 1.81 102 = - 0(102)
5 Й! 1.05-104 = 0(Ю4)
X Я! - 2.3 • 103 = - 0(Ю3)
2.6. Модель мышечного дыхания: роль миоглобина
79
Согласно табл. 2.4, (q/с^Цк^с^) ж 2.1 • 10"4, так что, за исключением тех
случаев, когда с0 очень мало, мы можем пользоваться приближенной формулой
для (2.58),
Г° = I ' (159)
к1с0 4-
дающей равновесное насыщение на периферии волокна. Для типичных значений,
приведенных в табл. 2.4, У0 х 0.93.
Заметим, что решения с(°} уравнения (2.57) удовлетворяют также второму из
условий (2.56), поскольку после дифференцирования (2.58) по и разрешения
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed