Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
граничным условиям (2.21) для х). Тогда второе решение (2.39) должно быть
искомым, и, так как сингулярный слой отсутствует, оно должно
удовлетворять граничным условиям (2.21):
с<?>(0)= 1^1 = - j = - А
(2.40)
c(i0)(l) = - ~-{Ь + е) = - ^-(Р + 5).
С0 С0 J Л.
Используя в выражениях для р, 8 и X в (2.20) значения, приведенные в
табл. 2.2, получаем из первого соотношения (2.40), что У0 ~ 1, в то вре-
Таблица 2.3
Гемоглобин Миоглобин
а -0(10) -0(10)
Р -0(Ю5) - 0(105)
у 0(10) 0(10)
8 О (10s) 0(Ю4)
X ООО4) О (105)
72
Гл. 2. Облегченная диффузия
мя как из второго следует точное равенство Yl = У0. Заметим, что здесь Yt
не зависит от с,. Поэтому из (2.40) следует, что облегченного транспорта
СО нет, и белок повсюду насыщен. С учетом (2.40) второе решение (2.39)
приводится к простому виду
что, конечно, совпадает с решением, которое было бы получено при
отсутствии образования комплекса гемоглобин-окись углерода (НЬСО), т.е.
при доминировании простой диффузии.
2.5. Биологическая интерпретация результатов
и общие принципы облегченной диффузии лиганда с помощью
макромолекулярного носителя
В этом разделе мы кратко обсудим физическую интерпретацию полученных выше
результатов. Анализ, приведенный в разд. 2.4, формально в точности
совпадает с анализом, осуществленным для кислорода в разд. 2.3. В обоих
случаях из того факта, что членом zd2cjdx\ можно пренебречь, поскольку в
(2.23) и (2.38) он повсюду порядка 0(e), следует, что скорость реакции р
в (2.6) пренебрежимо мала, и, по существу, система везде находится в
равновесии. Для обоих лигандов приведение основного нелинейного
дифференциального уравнения второго порядка к простому алгебраическому,
на параметры которого наложены такие ограничения, чтобы удовлетворялись
граничные условия сДО) = 1 и с,(1) = с,/с0 из (2.21), приводит к двум
соотношениям (см. (2.19)):
Глубокое различие в поведении двух лигандов вытекает из того, что в
случае кислорода все параметры а, Р, у, S и X имеют одинаковый порядок, а
именно 0(106), в то время как в случае окиси углерода две константы а и у
имеют порядок 0(10) по сравнению с 0(104) и 0(Ю5) для р, 5 и X; это
вызвано прежде всего сильно пониженным значением кинетической константы
диссоциации кх и повышенным значением константы сродства. Это позволяет в
случае окиси углерода пренебречь а и у в (2.42), и по этой причине
насыщение У остается равным 1 повсюду, что видно после подстановки
выражения (2.41) в формулу (2.16) для У при У, = У0 и У0 " 1.
С практической точки зрения следствием этого является то, что на стороне
низкого давления слоя (хг = 1) насосная система, использованная в
экспериментах, была не в состоянии поддержать парциальное дав-
ос + Р 4- X - 1, а + у + (Р + 5)с,/с0 + ХМсо)2 = 0.
(2.42)
2.5. Биологическая интерпретация результатов
73
ление окиси углерода на достаточно низком уровне, чтобы снять лиганд с
молекул носителя в сколь-нибудь заметной степени. Если мы посмотрим на
ситуацию с этой точки зрения, то разница в поведении кислорода и окиси
углерода может быть объяснена намного большим сродством белка к окиси
углерода, чем к кислороду.
С этим рассуждением согласуется тот факт, что в случае кислорода значение
У0 - Y" найденное Уиттенбергом (1970), составляло около 0.45 для
миоглобина по сравнению с 0.85 для гемоглобина. Миоглобин имеет
приблизительно в 14 раз большее сродство к кислороду, чем гемоглобин.
Метод сингулярных возмущений, использованный здесь, применим только при
условии, что по крайней мере один из параметров а, Р, у, 5 и X велик и,
следовательно, параметр е в уравнении (2.23) очень мал, так что член
Ed2cl/dx\ мал по сравнению с другими членами; тем не менее из анализа
вытекают общие принципы, применимые к любому лиганду и любому
макромолекулярному носителю. Наиболее важный из этих принципов состоит в
том, что (i) молекула носителя может внести значительный вклад в поток
субстрата только в том случае, когда его сродство к лиганду по отношению
к активности окружающего лиганда таково, что он лишь частично насыщен
лигандом в некоторой части системы. Это немедленно следует из выражения
(2.15) для полного потока, откуда видно, что если У0 = Yt (что, вообще
говоря, верно, лишь когда С[ = с0) или если Yt -> У0 -" 1 при достаточно
высоких значениях с0, то макромолекула не вносит вклада в поток. Второй
принцип, уже затронутый в конце разд. 2.3, заключается в том, что (ii)
лишь в том случае, когда времена жизни молекул с лигандом и без лиганда,
определяемые значениями j и кЛ, достаточно малы по сравнению со временем
(порядка /2/?>р), требуемым молекуле для диффузии на расстояние 1, будет
иметь место облегчение диффузии. Этот второй принцип, который, как и
первый, более или менее интуитивно очевиден, следует из (2.20), где ос,
р, у, 5 и X пропорциональны одному из безразмерных отношений k-J2/Dv,
k1l2c0IDp или kJ2cJDp. Если отношения велики, то е мало, и в случае окиси
углерода это приводит к функции фс), линейной по х, и к возможности, что
