Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
должно быть связано с различиями в кинетических константах, описывающих
их реакции с белком-носителем, будь то гемоглобин или миоглобин.
Константы диссоциации (эквивалент /с_! в (2.1)) СО для обоих белков
приблизительно на три порядка меньше этих констант для 02. Сродство СО к
миоглобину приблизительно в 40 раз больше, чем у 02, и в 250 раз больше,
чем у 02 в случае гемоглобина. Анализ, проведенный в настоящем разделе,
посвящен обсуждению различий между этими двумя лигандами и частично
следует работе Марри и Уаймена (1971).
Физиологически в нормальных обстоятельствах окись углерода намного менее
важна, чем кислород, для процесса облегчения диффузии с помощью
миоглобина. Однако большое число происходящих в промышленности случаев
отравления окисью углерода требует тщательного изучения роли миоглобина
и, что еще более важно, гемоглобина в этих процессах. Некоторые
предварительные результаты по влиянию на человека очень малых доз СО
содержатся в работе Бриттона и Марри (1977). Одно из следствий этого
анализа, приводимое здесь, заключается в том, что предлагается общий
принцип внутриклеточного транспорта любого лиганда любым
макромолекулярным носителем; эта проблема имеет большое значение для
клеточной биологии.
Мы предполагаем, что реакция окиси углерода с белком, в качестве которого
для определенности принимается гемоглобин, хотя могут быть приведены
результаты и для миоглобина, описывается константами скорости кг и в
форме (2.1), т.е.
к,
СО + НЬ ^ НЬСО. . (2.36)
к-,
Для миоглобина-молекулы с одним связывающим центром-механизм реакции
(2.36) является точным. Для гемоглобина он является достаточно хорошим
описанием кинетики, за исключением того случая, когда насыщение близко к
1, как и в случае НЬ и 02.
В стационарном состоянии с постоянными коэффициентами диффузии Dc для
свободной окиси углерода и Dp для белка и его комплекса соответствующие
уравнения в одномерном случае имеют такой же вид, как (2.3)-(2.5).
Используя, как и ранее, функцию насыщения белка У (сравните с (2.10)) и
те же приближения для реакции (2.36), что и в разд. 2.2, мы получим
искомые уравнения в форме (2.10), где теперь с(х) - это концентрация
свободной СО. Ожидая появления малого параметра е при обезразмеривании (а
именно этот случай имеет место, как мы увидим), рассмотрим граничные
условия (2.12) для системы дифференциальных уравнений (2.10). В этом
случае непосредственно приложим
70
Гл. 2. Облегченная диффузия
Таблица 2.2
Гемоглобин Миоглобин
с" моль/см3 1.2-10 "5 1.2 -10 " 5
Dp, см2/с 2.5 • 10 - 7 4.4-10" 7
(при 37°С)
1, см 2.2 ¦ 10 2 2.2-10 2
Д., см2/с
(в 20%-ном растворе) 9 -10 " 4 9 -10"4
,fc1; см3/(моль-с) 2 • 108 2-108
к-о с-1 8 ТО"3 1 О 1-
с0, моль/см3 1.56-10" 7 1.56-10" 7
(Р02 = 100 мм рт. ст.)
анализ разд. 2.2, и мы выводим единственное безразмерное уравнение
(2.19) для Ci(xt) (теперь СО) с а, Р, у, 5 и X, приведенными в
(2.20), и с сДО) = 1, сД1) = С;/с0, как в (2.21).
Значения различных постоянных параметров в правых частях формул (2.20)
для окиси углерода приведены в табл. 2.2. Они основаны на данных
Уиттенберга (1970) и (для кл и /с_Д Гибсона (1959) и Брунори и др.
(1966). Полагая У0 и У, порядка 0(1), с помощью табл. 2.2
получаем значения а, р, у, 5 и X, приведенные в табл.
2.3, которая показы-
вает, что р, S и X не только велики, но и намного больше, чем а и у, не
менее чем на три порядка. Таким образом, как мы и ожидали, мы вновь можем
ввести малый параметр е, основанный на больших значениях величин р, 5 и
X. Здесь мы выберем е = 10" 5 и, как и ранее (ср. с (2.22)), введем новые
постоянные a, b, d. е и / с помощью соотношений
а " b d
а = - Р = - У = -,
е е е
(2.37)
е f .
5 = -, X = -, е = 10 " 5 " 1.
е е
Как следует из табл. 2.3, для гемоглобина и миоглобина Ь, е и / порядка
0(1), в то время как and малы, порядка 0(10 ~4). Используя (2.37) и
данные табл. 2.3, из (2.19) получаем вместо (2.23)
e~dxf = № + exi)<л +М + 0(10 3),
(2.38)
2.4. Облегченная диффузия и случай окиси углерода
71
поскольку здесь and порядка 0(10 " 4); все другие члены в правой части
последнего уравнения имеют порядок 0(1). В (2.38) фактически есть второй
малый параметр, основанный на членах 0(10 ~4), однако с точностью до
членов порядка 0(1) ими можно пренебречь, так как более точное решение,
учитывающее эти члены, будет представлять собой просто регулярно
возмущенное по этому второму параметру решение.
Опираясь на строгое аналитическое обоснование (приложение 2) простого
метода, изложенного в разд. 2.3, мы немедленно получаем, что ed2cl/dx 1 =
0(e) повсюду, и решение порядка 0(1) для концентрации СО (обозначим ее
с'ДхД) в мембране должно обращать в нуль правую часть уравнения (2.38).
Два возможных решения имеют вид
c"\Xl) = 0; cf\Xl) = - j(b + eXi). (2.39)
Очевидно, что первое из этих решений непригодно; во-первых, потому, что
оно физически нереалистично, так как указывало бы на отсутствие какой-
либо диффузии, и, во-вторых, математически, так как оно не удовлетворяет
