Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
2.2. Стационарная модель и описывающие ее уравнения ,
55
интеграл-скорость уменьшения с в V в результате реакции; п-единич-ная
внешняя нормаль к S. Применяя ко второму интегралу формулу
Остроградского, приводим последнее уравнение к виду
+_V • J + = 0.
у
Поскольку это равенство должно выполняться для произвольного объема V,
подынтегральная функция должна обратиться в нуль. Если предположить, что
jDc-величина постоянная, то получаем следующее уравнение реакции с
диффузией для любого реагента с в случае одной пространственной
переменной х:
дс д2с
+ (22)
Для удобства в дальнейшем мы выбрали в качестве р скорость реакции
(2.1) в направлении слева направо.
В стационарном случае уравнения реакции с диффузией для схемы
(2.1) с одной пространственной переменной х имеют, согласно (2.2), вид
d2c dx2
D*-J-2=P> С2-3)
(2.4)
(2.5)
где, как указывалось выше, p-это скорость реакции (2.1) слева направо.
При сделанных выше предположениях (см. также гл. 1) это означает, что
Р = kiCpc - fc_,cc. (2.6)
Система (2.3)-(2.5) с соотношением (2.6) требует для определения решений,
вообще говоря, по три граничных условия нй каждом краю мембраны, а именно
при х = 0 и х = I.
С математической точки зрения было бы естественно задать с, сс и ср при х
= 0 и х = I. Однако они не могут быть все определены из эксперимента, и
краевые значения сс, которые в первую очередь представляют биологический
интерес, должны быть определены путем теоретического анализа. Можно
задать другие граничные условия, которые также биологически корректны.
Поскольку молекулы белка остаются в мембране, поток величин ср и сс на
границах при х = 0 и х = / равен
56
Гл. 2. Облегченная диффузия
нулю. Естественно было бы ожидать, что с может быть задано на краях, но
биологически даже это нельзя сделать достаточно точно на стороне низкого
давления х = I. Давление кислорода можно задать точно только на стороне
высокого давления х = 0. Таким образом, для сравнения с экспериментом
математическая задача недостаточно четко сформулирована. Ниже мы покажем
один из путей преодоления этих трудностей. Как указывалось выше,
математическое обоснование приведено в приложении 2.
Примем формально с равным с0 при х = 0 и равным с, при х = I Сделаем
также согласующееся с экспериментом предположение, что сопротивление
потоку субстрата через поверхности мембраны отсутствует (Жак, Кучай и
Дэниэльс (1972) включили поверхностное сопротивление в численные решения
уравнений). Если мы зададим нулевой поток для белка и его комплекса с
субстратом при х = 0 и х = /, то получим формально в качестве граничных
условий для задачи (2.3)-(2.6)
dc" dc.
с = с0, - = 0, = 0 при х = 0,
ах ах
dc" dc.
-- = 0, ----------------= 0 при х = I.
dx dx
(2.7)
Если мы сложим (2.4) с (2.5) и дважды проинтегрируем, используя
(2.7), то получим закон сохранения количества белка в виде
ср + сс = с, = const, (2.8)
где константа с,-это заданная общая концентрация белка. Система (2.3)-
(2.6) с условием (2.8) может быть сведена к системе двух обыкновенных
дифференциальных уравнений для с и сс, а именно
d2c
'Их2 = Р l(C' ~ Сс^С " 1°с'
(2.9)
?г
dx2
d2cc
D*^T = - Р
Величина cjcl представляет долю белка, связанного с субстратом, в любой
точке области. Это функция насыщения Y, обсуждавшаяся в разд. 1.4. Здесь
У-функция от х, такая, что 0 < У < 1. Уравнения (2.9) могут быть, таким
образом, записаны в форме
d2c
°Q'dx2 = Р = " Y^° ~ k~ic'Y'
d2Y
c'd'a?'~p' Y-Cjc-
(2.10)
2.2. Стационарная модель и описывающие ее уравнения
57
Уравнения (2.10) по существу и представляют собой модель Уаймена (1966);
его вывод этих уравнений был несколько иным. Заметим, что с,У(х)-это
также концентрация связанного кислорода в любой точке х раствора.
Насыщение У(х) и концентрация свободного кислорода с(х)-наиболее
биологически важные функции в рассматриваемой задаче, и далее мы будем
обсуждать эффекты облегченной диффузии с помощью этих функций.
Таким образом, одномерная стационарная модель облегченной диффузии белка
имеет вид (2.10) с граничными условиями, вытекающими из
(2.7): '
dY
с = с0, -г- = 0 при х = 0,
ах
(2.11)
dY
с = с" -- = 0 при х = /,
dx
или условиями, первоначально использованными Марри (1971):
с = с0, У = У0 при х = 0,
(2.12)
с = с" Y = Yt при х = /.
При условиях, реализуемых в экспериментах, Митчел и Марри (1973)
доказали, что для всех практических целей эти два набора граничных
условий дают эквивалентные решения (см. приложение 2).
Реальная трудность при решении задач (2.10), (2.11) или (2.10), (2.12)
для последующего сравнения с экспериментом заключается в том, что с, не
может быть задано точно, а в случае (2.12) У0 и У)-это величины, которые
мы в действительности хотим, определить и которые зависят от с0 и с,. Как
мы увидим, с, очень мало, но, что важно, отлично от нуля. На основании
эксперимента можно точно задать с0, т.е. концентрацию на стороне высокого
давления, и общий поток, задание которого, как мы увидим, равносильно
