Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
неустойчивым.
В отсутствии диффузии собственные значения X удовлетворяют, согласно
(А6.12) при к2 = 0, уравнению
X2 + Х(- (тп + т21)) + (mnm22 - m12m21) = 0.
Приложение 6
:377
Условие Re X < 0 означает, что параметры в / и д в (А6.5) должны быть
связаны неравенствами
т
и + т22 < 0, И1пт22 - т1гт2\ > О,
(А6.13)
где удовлетворяют (А6.8).
При наличии эффектов диффузии к2 Ф 0, и X получается из (А6.12). Мы хотим
теперь найти условие того, что Re X > 0 по крайней мере для одного
собственного значения. Поскольку из (А6.13) следует - (ти + + m2i) + к2(I
+ р) > 0, то искомое условие эквивалентно неравенству h(k2) < 0. В силу
второго неравенства (А6.13) и (А6.12) это может случиться, только если
тир + т22 > 0. Поскольку, согласно (А6.13), 1ли 4-+ т22 < 0, это
означает, что должно быть Р ф 1, т. е. S и А должны иметь различные
коэффициенты диффузии1'.
Окончательно необходимые и достаточные условия возникновения диффузионной
неустойчивости в системе (А6.4), (А6.5), (А6.7) имеют вид
8д_ <Г
ds да
<0,
р *.+_*' ds da
_ 89 д/
ds да да ds >0 (=* Р > 1),
> о,
(А6.14)
и существует по крайней мере одно положительное собственное значение к1,
такое, что
М/с2) = Р/с4 -
Л
' ds
8Г к1 + ~ dg df dg df 1
да s, а ds da da 8s
< 0. (А6.15)
Из последнего неравенства следует, что неустойчивые собственные значения
к2 должны удовлетворять условиям
1
^р
" dg df
_ 89 д/
da ds
о eg df\2 о / dg df .
*l+ da) ШГ-
1/2
+
+
dg df42
Г-Ч
Sg_ df_ _ dg df ds da da ds
1/2
(A6.16)
Для каждого к2, удовлетворяющего (А6.16), соответствующее неустойчивое
собственное значение ^.(ReX> 0) получается из (А6.12).
11 Точнее, Р > 1, так как легко непосредственно проверить, что т22 < 0.
Таким образом, должно быть DA > D^.-Прим. ред.
378
Приложение 6
В одномерных областях, где (А6.10) имеет вид
d2 W , <*W
+ к2 W = 0, = 0 (х = 0, х = а),
dx dx
быстрее всего растущая собственная функция линейного приближения, т. е.
функция с максимальным Re X > 0, указывает вид окончательного
распределения амплитуд. В двумерном случае это, вообще говоря, не так.
В. разд. 6.4 мы рассмотрели в качестве примера две области-прямоугольную
0<х$й, О^у^Ьи поверхность усеченного конуса 0 < < z < /, где г = г0 при z
= 0 и г = ri при z = / (рис. 6.4, 6.5).
Для прямоугольной области задача на собственные значения (А6.10) имеет
вид
a2w a2w
-+ -^ + /c2W = 0,
дх су
aw aw
= 0 (х = 0, а), = 0 (у = 0, Ь). (А6.17)
дх ' ' " ду
Ее решения суть
W(x,y)= ? Am"cos- xcos^-y, (А6.18)
где А ""-постоянные, т, п - целые числа, а собственные значения к2
выражаются формулой
к2 = к2тп = ~ (А6.19)
Если же мы выберем периодические граничные условия W(0, У) = W (а, у), W
(х, 0) = W (х, Ь), мы получаем вместо (А6.19) то же выражение, лишь
вместо я2 стоит 4л2. Подставляя в (А6.16) / и g из (А6.5), а к2 из
(А6.19), получаем после простых преобразований неравенство (6.10) из
разд. 6.4.
Для поверхности слабо сужающегося усеченного конуса задача на собственные
значения (А6.10) в системе координат г, 0, z имеет вид
Приложение 6
379
с условиями периодичности для W по 9. Решения записываются в виде W(0,
z;r)= ? (В;" cos пв + В"" sinn0) cos^j-z,
т,п 1
где В^", В""-постоянные, а собственные значения к2 равны
Подставляя /ид из (А6.5) и к2 из (А6.20) в (А6.16), получаем условие
(6.14) из разд. 6.4.
Неравенство (А6.16) зависит от геометрии области только через собственные
значения к2. Взяв / и д из (А6.5), мы можем, таким образом,
Рис. А6.1. Кривые устойчивости, дающие диапазон неустойчивых собственных
значений к2 в (А6.10) как функцию 0 для системы реакций с диффузией
(А6.4), (А6.5) для значений параметров а = 1.5, р = 13, s" = 103, а0 = 77
и нескольких значений параметра ингибирования К.
оценить диапазон неустойчивых собственных значений к2. Типичные кривые
устойчивости показаны на рис. А6.1 для некоторого набора параметров и
трех различных значений коэффициента ингибирования К.
Для значений К, больших 0.15, область неустойчивости еще сильнее
сжимается, пока не достигается критическое значение К, такое, что К > > К
не дает неустойчивых собственных значений к. Этот случай соответствует
рис. 6.2, в, а именно ситуации, когда стационарное состояние возбудимо,
но не является диффузионно неустойчивым. С другой стороны, рис. А6.1
показывает, что, когда К уменьшается до К = К, диапазон неустойчивых к2
становится бесконечным. Здесь К-такое критическое значение К, при котором
стационарное состояние вновь становится возбудимым, но не диффузионно
неустойчивым; для К < К ситуация такая, как на рис. 6.2, а.
380
Приложение 6
А6.3. Параметры скорости роста плода
В разд. 6.6 мы рассмотрели типичную длину L плода от верхушки до крестца,
связанную с весом W плода соотношением L = /сИ/1/3, где к - постоянная.
Она почти наверняка меняется в зависимости от вида животного и в течение
периода беременности, однако имеющихся данных недостаточно для
определения этих зависимостей. Чтобы получить оценки сверху и снизу для
