Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 142

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 154 >> Следующая

Марсден Дж., Мак-Кракен М.
(1980)* Бифуркация рождения цикла и ее приложения.-М.: Мир. Минорский
(Minorsky N.)
(1974) Nonlinear oscillations.-Robert E. Kriger Publishing Co., New York.
(First edition: 1962 Van Nostrahd, Princeton, New Jersey.)
Сансоне; Конти (Sansone G., Conti R.)
(1964) Nonlinear differential equations.-Pergamon, Oxford.
Стокер Дж.
(1953)* Нелинейные колебания в механических и электрических системах,
изд. 2.-М.: Физматгиз.
Фридрихе (Friedrichs К. О.)
(1965) Advanced ordinary differential equations.-Nelson, London.
Хопф (Hopf E.)
(1942) Abzweigung einer periodischen L6sung von einer stationaren Losung
eines Differential-systems-Ber. Math.-Phys. Kl. Sachs. Akad. Wiss.
Leipzig, 94, 3-22. [Имеется перевод в книге Дж. Марсден, М. МакКракен
(1980)*.]
11 См. книгу Дж. Марсдена и Мак-Кракена (1980)*.-Прим. ред.
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ СИСТЕМ РЕАКЦИЙ С ДИФФУЗИЕЙ
А5.1. Существование и единственность ограниченных решений для одного
класса уравнений реакций с диффузией
Конкретная система уравнений, интересующая нас,-это система (5.52),
(5.53):
ди д2и
= и( 1 - и - rv) +
dt дх2 '
(А5.1)
dv d2v
- = -buv + -г-dt dx
Мы будем исследовать решения и, v, принимающие значения из [0, 1] для
(>0и - со < х < оо. Используя стандартные методы, мы рассмотрим более
общую систему, включающую в себя (А5.1). Этот метод применялся также А.
Н. Колмогоровым, И. Г. Петровским и Н. С. Пискуновым (1937) к скалярному
уравнению Фишера (5.12).
Пусть и(х, г)-вектор-функция, удовлетворяющая уравнению
" 'u = Lu = F(u), (А5.2)
dt дх2
где для F выполняется условие Липшица
III (Mi) - Z (u2) I < fc||ui - u2|| (A5.3)
для некоторого к > 0; |-|| обозначает норму. Система (А5.1) удовлетворяет
этому условию. Мы докажем, что если задано
и (х, 0) = f (х), (А5.4)
где f(х)-ограниченная непрерывная или кусочно-непрерывная вектор-функция
х (к этому классу принадлежат функции со значениями компонент в [0, 1],
которые нас особенно интересуют в связи с системой (А5.1), в частности
функции типа (5.17)Х то решение системы (А5.2) существует и единственно.
Фундаментальное решение для оператора L в (А 5.2) имеет вид
Приложение 5
367
Пусть u0 (х, t)-решение линейной задачи
Lu0 = 0, и0 (х, 0) = f (х),
так что
то
u0(x,i) = J G(x - (А5.5)
- оо
Определим теперь последовательность функций {иДх, f)}> i = 0, .1, 2, ...
рекуррентной формулой
t со
ui+! (х, г) = u0 (х, t) + J J G (х - t - л) F (uf (?, л)) dt,dr], (А5.6)
0 - со
которая после применения оператора L дает
Lu(+1 = Lu0 + F(uf) = F(u;)
и, кроме того,
ui+1(x, 0) = uo(x, 0) = f(x).
Введем теперь
Mi+1.(t) = sup||ui+1 (x, Л) "Hi(*' Л)II •
Л ^ *
Используя (A5.6) и (А5.3), получаем при i ^ 2 оценку
t оо
Mi+1(fKj J G (х - Е,, т - Л) (I F (u() - F (u,-_ t) ||
0 - oo t oo
j С(х-5)г-л)||и1-й)л)-и^,К,л)|<^<*Л5'
0 - x
t oo
J G(x - %, t - л)АМл)<^Л =
0 - oo r
= kjM,(n)*i. (A5.7)
0
Определим теперь
M = sup||F(uo(x,0)||.
Тогда Mt (t)< Mt, и из (A5.7) следует
, Mt2 /с* - 1 M?
W2W < ^ 2~' •••, < ------ -*• 0, i -" со. (A5.8)
Отсюда и из формулы
й + ! (х, i) = u0(x, t) + [u, (x, t) - u0 (x, t)] + ... + [u, + ! (x, t)
- a(x, f)]
368
Приложение 5
следует, что итерационный процесс (А5.6) сходится к предельному решению
u(x, f), для которого выполняется
t 00
u (х, t) = u0 (х, t) + J J G (x - S, t - ri)F (u (?, ri)) ip, (A5.9)
0 - oo
где u0(x, t) дано в (A5.5), и поэтому u(x, 0) = f(x), т.е. выполняется
начальное условие (А5.4). Из (А5.9) сразу следует (А5.2).
Для доказательства единственности решения задачи (А5.2), (А5.4)
предположим, что u(1)(x, t) и и(2)(х, fj-два решения, ограниченные при
ограниченных t и удовлетворяющие (А5.9). Тогда из (А5.9) имеем ( 00
u(l)-u(2) = J j G(x - t - p) [F(u(1)) - F (u(2))]i^ip. (A5.10)
0 - oo
Определим теперь
N (f) = sup I u(1) (x, p) - u(2) (x, л) I -Поскольку F(u) удовлетворяет
условию Липшица, из (А5.10) следует
t оо
N(t)<*k$ J G(x - ?, л - t)N(x])d?,dr],
0 - oo
так что
г
N (t) < к (p)ip ^ N (t) = 0. о
Таким образом, u(1)(x, t) = u(2)(x, (), т.е. решение системы (A5.2),
(A5.4) единственно 1).
А5.2. Оценки скорости распространения волновых решений модельной системы
для реакции Белоусова-Жаботинского
Решения типа бегущей волны системы (А5.1) того класса, который нас
интересует, удовлетворяют уравнениям (5.60)-(5.62):
f" - Cf +/(1 -/- гд) = О, (A5.ll)
д" - eg' - bfg = О, (А5.12)
/(°о) = в(- оо) - 1, /(-°°) = 0(°о) = О, (А5.13)
11 Применение доказанной теоремы к системе (А5.1) затруднено тем,
что
правые части удовлетворяют по и, v условию Липшица не во всей плоскости
и, v, а лишь в каждой ее конечной части. Преодолеть эту трудность можно
так: доказать разрешимость задачи локально, т.е. при малых t, а затем
проверить, что при продолжении решения по t значения и, v не могут
покинуть интервал [О, 1].-Ярмм. ред.
Приложение 5
369
где г и Ь-положительные постоянные, а с-собственное значение волновой
скорости. В предположении, что существуют монотонные решения этих
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed