Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 140

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 154 >> Следующая

,2 \ 1/2
]•
(A4.40)
где А и В-произвольные постоянные, а форма (А4.40) справедлива при V2 <
4; при v2 ^ 4, конечно, вообще нет колебательного поведения. При v Ф 0
решение (А4.40) является колебательным: оно накручивается на точку
равновесия в начале координат или раскручивается с нее в зависимости от
того, v < 0 или v > 0. Значение v - 0 является точкой бифуркации. Другими
словами, в фазовой плоскости для (А4.38) особая точка (А4.39) уравнения
dx2 - X! + vx2 dx 1 х2
является устойчивым или неустойчивым фокусом в зависимости от того, v < 0
или v > 0 (в обоих случаях |г| < 2).
Для значений v в окрестности точки равновесия в силу (А4.40) нет других
периодических решений, кроме
v = 0, Xj = ,4cos г + Bsinf, х2 = Xi (А4.41)
и (при v Ф 0) решения х, = х2 = 0, т.е. тривиального решения. Таким
образом, с точки зрения теоремы периодическое решение существует, но оно
характеризуется функцией v(u) в (A4.ll), тождественно равной нулю,
поэтому периодические решения этой системы совпадают с решениями
Приложение 4
359
системы х = F (х, 0). Это в точности совпадает с тем, что мы получили бы
из теоремы, проведя подробный анализ.
Пример 2. Рассмотрим теперь нетривиальную систему
F(x,i>).
"*Г Х2
- Xj + vx2 - xjx2_
(А4.42)
Прежде чем анализировать эти уравнения (А4.42) с помощью теоремы о
бифуркации, отметим, что после исключения х2 система принимает вид
х, -I- (xf - и)х! + xt = 0,
(А4.43)
т.е. превращается в частный случай уравнения Льенара (см. книгу Ми-
норского (1974) и утверждение (ж) из разд. 4.3), если v > 0 и,
следовательно, для каждого v > 0 имеет единственный устойчивый предельный
цикл. При v < 0 уравнение не относится к типу Льенара и решения типа
предельного цикла не имеет.
Исследуем теперь систему (А4.42) с помощью теоремы Хопфа. Из (А4.3) и
(А4.42) получаем
F (х, v) = 0 х = а (г) = 0
(А4.44)
есть единственная особая точка. Линеаризуя (А4.42) около х = 0, имеем
(ср. с (А4.4))
А (г) = [VxF(x, г)]х = 0 = А(0) =
0 1
-1 v
(А4.45)
0 1
-1 0
Таким образом, условия (А4.5) выполняются, поскольку SpA(0) = 0,
detA(0)=l>0,
| А (0) - XI | = 0 ^ X = ± i => w = 1 ^ Т0 = 2п.
(А4.46)
Поскольку (ср. с (А4.6)) А (г) =
I (г) =
011 ГО 0
-1 oJ + lo 1
0 0' о
= А(0) + "В("), Sp В(0) = 1 #0
(А4.47)
360
Приложение 4
и w = 1, из (А4.28) получаем
В = у{В(0)- А(0)В(0)А(0)} =1
1 0 0 1
(А4.48)
Функция Q, определенная уравнением (А4.14), которое, согласно (А4.42),
(А4.44) и (А4.45), имеет вид
F (0 + иу, v) = и А (и) у + u2Q (у, v, и) =
" 0 1 ~ ' 0 "
-1 V У + и2 _ -щ\у2 _
= и
может быть записана в виде 9 (У, v, и) =
Из (А4.17) и (А4.18) с учетом (А4.46) и (А4.45) получаем Y (s) = 1 cos s
+ А (0) sin s =
0 У1
2 , У =
. - ~Щ\Уг_
(A4.49)
cos s sm s - sin s cos s
(A4.50)
Y-'(s) =
cos s sin s
- sin s cos s
Согласно (A4.10) и (A4.22) имеем
= y(s, 0) = Y (s) b, b
Уi (s, 0) У 2 (s. °)
bi b,
(A4.51)
Мы знаем, что с (0) = d (0) = 0. Алгебраические уравнения для с' (0) и d'
(0) в рядах Тейлора
с (и) = с(0) + ис'(0) + ... = = мс' (0) + ...,
d(u) = d (0) + ud' (0) + .. = ud' (0) + ...
получаются теперь из (А4.24) путем разложения по малым и и приравнивания
соответствующих коэффициентов с использованием А (г), В (г) и Q из
(А4.47) и (А4.49). Так как, согласно (А4.51), Y~1 (s)y (s, 0) = b, то
члены порядка О (и) в (А4.24) с учетом (А4.26), (А4.48) и равенства Т0 =
= 2л после приведения подобных членов дают
2п[с'(0)А(0)Ь + d' (0) Bb] +
Y"l(z)
0
-yl(z, 0)y2(z, 0)
dz = 0. (А4.52)
Приложение 4
361
Но из (А4.51) следует
1(*.°п г bi
2 (z, 0) J |_ -
cos z + b2 sin z sin z + b2 cos z
так что
y\ (z, 0)y2 (z, 0) = (b, cos z + b2 sin z)2 (- 6i sin z + b2 cos z).
Подставляя это выражение в (А4.52) и интегрируя получающиеся функции sin"
z cos4 ~ " z, п = 1, 2, 3, 4, имеем
ЛП
- Fy-1 2it J -
(z)
0
¦y\ (z, 0)y2 (z, 0)
dz =
.in
--ii
- sin z cos z
(b,cosz + b2sin z)2 (- b2 sin z + b2cosz)dz =
= -Ubl + bl)b= -|||b||2b.
Если теперь использовать формулы (А4.45) для А(0) и (А4.48) для В,
(А4.52) принимает вид
, Г 0 1
СЧ-1 0
b + |rf'(0)
1 о
0 1
откуда
с' (0) = 0, d' (0) = - ||b||2.
(А4.53)
Таким образом, для малых и
7" =271(1 + о (и2))
(А4.54)
х (и, I) = му ((, 0) + О (м2),
(А4.55)
362
Приложение 4
где у (г, 0) в силу (А4.22) выражается через Y (г) из (А4.50)
У (t, 0) = Y(f)b
¦[
cos t sin t - sin t cos t
b.
(A4.56)
Точка бифуркации системы (A4.42) получается при v = vc = 0, и ответвление
периодических колебательных решений происходит в область параметра v > 0,
так как из (А4.54) следует, что для периодических решений v ~ и2 ¦ 1 b
12 > 0. Период предельных циклов для малых поло-
жительных v приближенно равен 7J, = 2я, а сами решения типа предельных
циклов можно на основании (А4.55) и (А4.56) записать в виде
1
*2
х (v, t) =
= 2]/v
2 \/v Г b i cos t - bi sin t
'Л)]+о"*
IN
cos(t -- sin (t
+ b2 sin t + b2 cos t
+ 0(v) =
a = arc tg
(A4.57) 0 < v " 1.
Поскольку b произвольно, то произволен и угол а, который просто
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed