Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ь 2
с (г, t) = с0 J 4яг' v(r, t; r')dr. (АЗ.19)
<2
Для подстановки (АЗ.16) и (А3.19) нам потребуется интеграл In = ]r'Rn(r'W
=
а
(1 +*йш ? , . (' -а \л,
- ь"[(1 - т + xi)- =
b3/2 [sin (1 - к) х" - x"cos(l - /с)х" + /сх"]
= X2 [(1 - к) - (1 + X2)-1]1'2
Отсюда, подставляя v из (АЗ.16) в (АЗ.19), получаем
D<3>x2
(А3.20)
:(r, t) = 2с0 X 7" ^^-ехрГ " = i г [
Ь2
(А3.21)
где /" и R" даны в (А3.20) и (АЗ.18) соответственно.
Число частиц p(t), все еще находящихся в области а < г < Ъ в момент
времени t, равно (сравните с (3.1))
ь
p{t) = $4кг2с(г, t)dr,
что после использования (АЗ.21) и (А3.20) дает
00
P" = P(0) ? (А3.22)
348
Приложение 3
где
4 Ъ2
Р (0) = с0 у к (Ь3 - а3), у. = р(3)^2 , к = а/Ь,
(АЗ.23)
а /" дано в (АЗ.20). Эти выражения для p(t), р(0), v" и Ап в (АЗ.22) и
(А3.23) совпадают с выражениями (3.27) и (3.28) разд. 3.3 (iii), за
исключением верхнего индекса 3 при р(г), р(0) и Ап.
АЗ.З. Автомодельные решения
для одного класса уравнений диффузии
Мы опишем здесь довольно общую систематическую процедуру отыскания
автомодельных решений дифференциальных уравнений с частными производными,
которые могут быть нелинейными. Общая процедура может быть применена к
намного более широкому классу уравнений, чем будет рассмотрен здесь. С
целью иллюстрации мы остановимся только на линейных уравнениях диффузии
Как мы увидим, тип граничных условий является решающим для существования
автомодельного решения.
Рассмотрим преобразование
Таким образом, дифференциальное уравнение и граничные условия инвариантны
относительно преобразования (А3.26) (х, г) -> (х', г'), если
Тогда и решение задачи (АЗ.24), (АЗ.25) инвариантно относительно
(АЗ.24)
с граничными условиями, в качестве которых мы примем с (со, t) = 1, с(0,
г) = 0, t > 0.
(А3.25)
х -* ax', t -> Ы', после применения которого (А3.24) приводится к виду
(А 3.26)
(АЗ.27)
а граничные условия (А3.25) остаются прежними:
с (со, t1) = 1, с (0, г') = 0, t' > 0.
(А3.28)
Ъ =
а
,2 - s
(АЗ.29)
Приложение 3
349
этого преобразования, т.е.
с (х, t) = с (ах, а2 5 г).
(АЗ.ЗО)
Положив здесь а = l/t1/(2 s) (при s Ф 2), мы видим, что рассматриваемое
решение является функцией одной переменной
или любой степени этого г). Подстановка с(х, t) - и(Г|) с г] из (А3.31) в
дифференциальное уравнение (А3.24) и граничные условия (АЗ.25) дает
причем для сходимости интегралов нужно требовать, чтобы было s < 1 либо 5
> 2. Решения рассматриваемого вида, испытывающие при изменении времени
простое преобразование подобия, называются автомодельными.
Таким образом, мы показали, что для задачи (А3.24), (А3.25) при s < < 1
или s > 2 существует автомодельное решение. Можно проверить, что эти
условия на s являются и необходимыми.
Решающим требованием для существования автомодельного решения является
форма граничных условий. Они должны быть такими, чтобы автомодельная
переменная была постоянной при двух значениях, предписанных условиями на
х и t. Условия (А3,25) не являются единственными, которые позволяют
сделать это. Например, предположим, что s < 1; тогда условие в переменных
х, t типа с (х, 0) = 1 будет пригодно, так как оно также дает г) -> оо.
Таким образом, решение (АЗ.ЗЗ), (А3.34) уравнения (А3.24) при s < 1
удовлетворяет также условиям
л = x/t1'(2 "s), s ф 2,
(А3.31)
и (со) = 1, и(0) = 0.
(АЗ. 32)
Решение задачи (АЗ.32) имеет вид
Л ~ {I "р[~ ' ¦|2 " 51""'/г(тзх).
(АЗ. 34)
с (х, 0) = 1, х > 0, с(0, г) = 0, t > 0.
Автомодельные решения образуют специальный класс решений; это, ко-
350
Приложение 3
нечно, неширокий класс, и потому следует ожидать, что они, вообще говоря,
не могут удовлетворить обычным условиям для уравнения типа (АЗ.24), а
именно двум граничным условиям по х и одному по t. Однако, как мы видели
в разд. 3.7 гл. 3, с их помощью было получено требуемое решение.
ЛИТЕРАТУРА
Абрамовиц, Стиган (Abramowitz М., Stegun I. А.)
(1965) Handbook of mathematical functions-Dover, New York. [Имеется
перевод: Абрамовиц и Стиган. Справочник по специальным функциям-М.:
Наука, 1979.]
Карслоу, Егер (Carslaw Н. S., Jaeger J. С.)
(1959) Conduction of heat in solids-Clarendon Press, Oxford. [Имеется
перевод: Теплопроводность твердых тел.-М.: Наука, 1964.]
Марри (Murray J. D.)
(1974) Asymptotic analysis-Clarendon Press, Oxford.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ТЕОРЕМА ХОПФА О БИФУРКАЦИИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ
Это приложение носит более математический характер, чем другие Ч и
посвящено теореме Хопфа (1942), в которой речь идет об условиях,
необходимых для существования действительных периодических решений у
действительной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
^=- = F(x, v), (А4.1)
где F и х(г, t) суть n-мерные векторы, а г-действительный параметр. Мы
дадим здесь условия и доказательство существования периодических решений
двумерного уравнения (А4.1), частично основанное на доказательстве
Фридрихса (1965). В конце приложения подробно обсуждаются несколько
иллюстративных примеров.
Теорема. Пусть
