Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
парадокс в биологическом эксперименте.
Миллер и Бейлис (1969) исследовали реакции фермента L-аспарагин-
амидогидралазы, выделенного из кишечной палочки Escherichia coli, с двумя
субстратами-аспарагином и глютамином-вместе и по отдельности.
Эксперименты показали, что реакция была полностью конкурентной. Когда
аспарагин использовался в качестве субстрата, т.е. скорость его реакции
измерялась при различных концентрациях глютамина в качестве ингибитора,
результаты соответствовали теории Михаэлиса-Ментен, и теория
псевдостационарного состояния была применима в момент времени t = 0.
Однако когда глютамин рассматривался как субстрат и скорость его реакции
измерялась в присутствии различных концентраций аспарагина в роли
ингибитора, результаты не согласовывались с теорией Михаэлиса - Ментен,
несмотря на ожидавшуюся симметрию реакции. Следует подчеркнуть, что при
измерении скорости реакции эксперимент организуется таким образом, чтобы
концентрация субстрата была почти постоянна во время проведения
измерений. Кажущийся парадокс проявился в графиках Лайнуивера-Бэрка (рис.
1.3): с аспарагином-субстратом и глютамином-ингибитором получились прямые
линии, в то время как с глютамином-субстратом и аспарагином-ингибитором
прямые линии не получились, хотя в последнем случае в отсутствие
ингибитора график также представляет собой прямую линию. Рубиноу и
Лебовитц (1970) разрешили этот кажущийся парадокс: их анализ является
интересным приложением метода сингулярных
30
Гл. 1. Ферментативная кинетика
возмущении описанного выше типа, или, что в данном случае одно и то же,
правильным использованием теории псевдостационарного состояния. Мы будем
следовать ниже их анализу при" обсуждении конкретной реакции фермент-
субстрат-ингибитор (1.45), (1.46), использованной ими. Из этого анализа
вытекает довольно важный общий практический принцип для полностью
конкурентных ферментов в такой реакции.
Применение закона действующих масс к (1.45) и (1.46) дает кинетические
уравнения для концентраций реагентов, как в разд. 1.2 для (1.1) и (1.2).
Как мы видели, там концентрация продукта при известной концентрации
фермент-субстратного комплекса выражалась с помощью (1.11) или (1.14).
Здесь концентрации продуктов также могут быть легко найдены, если
известны концентрации комплексов ES и EI. Поскольку мы в первую очередь
будем интересоваться скоростями реакции веществ S и I, нам в
действительности нужны не уравнения для продуктов, а только константы
скорости к2 и кА, входящие в (1.45) и (1.46). Таким образом, нам
необходимо рассмотреть кинетические уравнения для субстрата, ингибитора и
комплексов фермента, концентрации которых как функции времени обозначены
следующим образом:
s(r)=[Sj Hr) = [I], e(0=[E],
(1.47)
cs(t) = [ES], q(r)=[EI].
Кинетические уравнения для этих концентраций в реакциях (1.45) и (1.46)
имеют следующий вид (сравните с (1.8)-(1.11)):
//с
- = - ktse + fc_1cs, (1.48)
dt
dt
= kxse - (fc_! 4- k2)cs, (1-49)
di
- = - k3ie + fc_3C|, (1.50)
-^2- = k3ie - (fc_з + fc4)cj, (1.51)
de
-- = - fejse - k3ie + (fe_t + k2)cs + (fc_3 + kA)c{. (1-
52)
dt
Соответствующие начальные условия для уравнений (1.48)-(1.52) состоят в
том, что начальные концентрации ферментных комплексов равны нулю, a s, i
и е заданы:
s (0) = s0, i (0) = i0, е(0) = е0, сДО) = сДО) = 0.
(1.53)
1.3. Система фермент-субстрат-ингибитор
31
Как уже указывалось, после того как cs(t) и с( (г) найдены, концентрации
продуктов определяются из их кинетических уравнений
Р8(0 = Pi (0 = /c4Jci(0^.
о о
Уравнение сохранения для фермента е получаем немедленно, складывая
(1.49), (1.51) и (1.52) и учитывая (1.53):
d
- (cs + + е) = 0 ^ cs + С; + е = е0. (1.54)
at
Исключая е из (1.48) -(1.51) с помощью подстановки, вытекающей из (1.54),
получаем четыре уравнения для s, г, cs и с{. Заметим, что одна реакция
Михаэлиса - Ментен типа (1.3) может быть сведена к двум кинетическим
уравнениям (1.15), (1.16), в то время как две такие реакции, сопряженные,
как в (1.45), (1.46), могут быть приведены только к четырем уравнениям.
Здесь мы введем безразмерные переменные с помощью обозначений х (т) = 5
(?)/s0, Z (т) = 1 (?)/г0, ys (т) = cs (?) /е",
ЯСО = Ci(t)/e0, т = kle0t, е = e0/s0,
Р = 'o/so> У = к3/ки Ks = kl , (L55)
kxs0
к_3 + /с4 к2 кл
Ai = -----;-: , С, = -, L-, =
к / ' 5 к " ' 1 к i '
"-3*0 Л}Л0 Лз'о
и четыре уравнения для s, i, cs и ci приобретут безразмерный вид dx
- = - х + (х + Ks - Ls)ys + xyt, (1.56)
dys
z-fa = x - (x + Ks)ys - xyh (1.57)
= 7 [ - z + zys + (z + К-, - LJyJ, (1.58)
Z~lx = ^ ~ ZVs ~ (Z + (L59)
Начальные условия для x, ys, y{ и z получаем из (1.53) с помощью (1.55):
x(0) = z(0)=l, У, (0) = у; (0) = 0. (1.60)
32
Гл. 1. Ферментативная кинетика
Как отмечалось выше, величина е = e0/s0 в экспериментах обычно очень
мала. В экспериментах Миллера и Бейлиса (1969) е = О (10_6). Таким
образом, поскольку 0 < ? " 1, задача (1.56)-(1.60) представляет собой
