Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 115

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 154 >> Следующая

где теперь целые числа т, п для неустойчивых мод удовлетворяют вместо
(6.10) неравенствам
у[Х- у]<4 + -^<у[*+ Г],. (6.14)
Г Г
а X, Y приведены в (6.11). Здесь локальный радиус г поверхности
усеченного конуса служит просто параметром, однако он решающим образом
определяет полученную поверхностную структуру.
Если по всей длине конуса г настолько мало, что п2/г2 при п ^ 1 слишком
велико, чтобы попасть в диапазон неустойчивости (6.14), то для
неустойчивых собственных функций обязательно п = 0, а т удовлетворяет
(6.14). Тогда из (6.13) видно, что это просто одномерный случай,
го
в
Рис. 6.5. Область реакции с диффузией в виде конической поверхности: а-
геометрические данные; б-г0 <r <ги г1 мало; e-rt мало, а г0 достаточно
велико для возникновения двумерных эффектов вблизи z = 0.
11 Требуется, чтобы конус был мало сужающимся; тогда в лапласиане г можно
считать параметром (точнее, г0 - г1 " 1).-Прим. ред.
286 Гл. 6. Механизм формирования предварительной структуры
иллюстрируемый рис. 6.5,6, который сравним с плоским случаем,
представленным на рис. 6.4,6.
Предположим теперь, что г0 недостаточно мало, чтобы 1 fr\ лежало вне
диапазона (6.14), зато настолько мала величина 1 /г2. Тогда вблизи z = О
неравенства (6.14) могут дать модальные пары ш, л с m > 1 и n J ^ 1, в то
время как вблизи z = I будет п - 0, т > 1. Таким образом, здесь может
образоваться плавный переход от определенной двумерной структуры вблизи
толстого конца к квазиодномерной полосатости у тонкого конца, как
показано на рис. 6.5, в. Для полной нелинейной системы регулярные полосы
вблизи тонкого конца z = / определяются линейной теорией. Мы используем
эти результаты в разд. 6.5.
Рассмотрим, наконец, зависимость времени образования таких
пространственных структур от размеров области. В системе (6.2), (6.3)
масштабный параметр у входит только как множитель при скоростях реакций в
оба уравнения для s и а. Поэтому если мы заменим время уt на t, а все
длины L|/y на L, т.е. (1 /у)V2 на V2, то полученная система будет в
точности совпадать с исходной при у = 1. Таким образом, если для
некоторой области время формирования структуры имеет порядок Т, то для
подобной области в 10 раз больших размеров (т.е. у у = 10) анализируемая
система будет той же за исключением того, что время формирования этой
структуры будет иметь порядок 100Т (т.е. уТ).
Рассмотрим теперь влияние такого увеличения времени на индексы т, п
собственных функций, например, в (6.10), являющихся неустойчивыми из-за
положительности соответствующих Хтп. Если область велика, то для
фиксированного у значения а и b велики (или а и b фиксированы, а у
велико). Значит, по крайней мере одно из т и п, удовлетворяющих
(6.10), должно быть велико, а это в свою очередь означает большое число
компонент у пространственной структуры. Такие структуры требуют намного
больше времени для своего развития, чем те, которые соответствуют парам
меньших целых чисел. Однако на формирование структуры отведено, по-
видимому, лишь конечное время. Например, в разд. 6.3 время, имеющееся для
порождения пространственной структуры-это время, за которое стационарное
состояние Р проходит через область возможной диффузионной неустойчивости
при уменьшении параметра ингибирования К от высокого до низкого значения.
Таким образом, это время может оказаться недостаточным для развития
окончательной картины, результатом чего будет квазиоднородность.
Альтернативное, но в действительности мало отличающееся объяснение
состоит в том, что структура появляется из-за влияния границы или общей
протяженности в случае периодических граничных условий (это влияние
определяет собственные функции). В очень больших областях граница далека
от большей части области, в которой происходят реакции с диффузией, так
что эта граница оказывает слишком слабое влияние, чтобы породить
структуру за имеющееся в наличии время.
Итак, если область слишком мала (а и b на рис. 6.4 слишком малы), то
образование пространственных структур невозможно, а если область
6.5. Применение механизма формирования структуры
287
слишком велика, то имеющегося времени не достаточно для развития
структуры. Для любой из этих крайностей окончательная картина в основном
однородна. Хотя на данной стадии это еще очень гипотетично, но если
механизм реакций с диффузией ответствен за образование исходной картины в
раскраске животных, то он может быть, по-видимому, использован для оценки
промежутка времени, необходимого для установления этой картины. Он также
дает разумное объяснение однородности окраски очень больших животных с
длительным периодом вынашивания и большинства очень мелких животных с
коротким периодом вынашивания.
В следующем разделе мы рассмотрим некоторые практические приложения
теории к конкретным геометрическим формам и свяжем эти результаты с
разными четко раскрашенными животными.
6.5. Применение механизма формирования структуры к конкретным животным и
геометрическим формам
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed