Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 114

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 154 >> Следующая

условиях дают лишь качественно подобные пространственные структуры.
Поскольку мы имеем в виду раскраску шкур, это согласуется с
индивидуальной уникальностью деталей рисунков шкур животных. Отметим, что
применение теории систем реакций с диффузией в работе Кауфман и др.
(1978) к клоновым линиям крылового диска дрозофилы опирается на
предположения о форме нелинейных структур, основанные на линейной теории.
Из сказанного ясно, что конечное стационарное распределение концентраций
критически зависит от существования положительных собственных значений
(которые в свою очередь зависят от специфической системы реакций с
диффузией) и от собственных функций, которые определяются граничными
условиями, геометрией и размерами области. На основе линейной теории для
геометрически простых областей могут быть найдены собственные функции и
диапазон собственных значений лт", имеющих положительные действительные
части.
Для системы (6.2), (6.3) и прямоугольной области (рис. 6.4) мы показываем
в приложении А6.3, что пара целых чисел тип, которая приводит к
неустойчивым собственным функциям, т.е. собственным значениям с
положительной действительной частью Хтп, должна удовлетворять
неравенствам
у(Х- У)<я2(^-+^г)<?(*+ у)> (6Л°)
где X и У-функции параметров а, р, Р, а0, s0 и К:
X = - [$ + М (s, а) + а + N (s, а)],
У = {[р + М(s,а) - а - W(s,o)]2 + 4M(s,a)JV(s~,o)}1/2.
zp
Здесь
Рра(1 - Ks2) ps
M(s,a) = ~-----=---N(s,a) =
(6.11)
(1 + 5 + Ks2)2 ' v ' ' ¦ 1 + s + Ks2 '
a s, а-решение системы алгебраических уравнений (6.4). Заметим, что s, а
не зависят от параметра у, который входит в неравенство (6.10) лишь в
качестве множителя. Если вместо (6.6) используются периодические
граничные условия, в (6.10) нужно только заменить у на у/4.
Например, если мы возьмем один из наборов параметров, указанных ниже, а
именно а = 1.5, р = 13, 50 - 102, а0 = 77, К = 0.1, то из
284 Гл. 6. Механизм формирования предварительной структуры
(6.4) можно найти стационарное состояние s = 8, а = 14. Сиситема (6.2),
(6.3) диффузионно неустойчива для (3 ^ 5 (Рс = 4.6). При Р = 5
неустойчивым модам соответствуют пары целых чисел, удовлетворяющие,
согласно (6.10), неравенствам
2 2
О.ОЗбу < ~ < 0Л15Т (6Л2)
Отсюда можно понять взаимоотношения масштабного параметра, размеров и
формы области.
Предположим, что мы возьмем у =1 и прямоугольную область на рис. 6.4, а с
а = 3 и b = 1. Тогда неустойчивые собственные функции из (6.8) имеют,
согласно (6.12), значения тип, удовлетворяющие неравенствам 0.036 < п2/9
+ т2 < 0.115. Таким образом, единственной неустойчивой моде соответствуют
значения т = 0, п = 1, что иллюстрирует рис. 6.4, б. Таким же будет и
конечное стационарное состояние, полученное из полной нелинейной системы.
Если теперь увеличить размер области в 2 раза, то а и b удваиваются, а у
возрастает до у = 22 = 4, так что неустойчивой моде теперь соответствуют,
согласно (6.12), т = 0, п = 2. Итак, видно, что для данной формы области
значения т, п можно менять, изменяя у.
Если мы теперь выберем у = 10, то из (6.12) получим 0.36 < п2/9 + + т2 <
1.15, что допускает несколько конфигураций мод, а именно: (I) т = 1, п =
0; (II) т = 0, п = 2 или п = 3. Они дают соответствующие собственные
значения Хтп > 0, наибольшее из которых определяет доминирующее решение,
которое ответвляется от однородного стационарного состояния и в этой
квазиодномерной ситуации развивается в сходную модальную конфигурацию
даже в нелинейном случае. Это было показано Мимурой и Марри для
математически сходной ситуации в модели хищник-жертва (1979) и для
механизма ингибирования субстратом (1978), разработанного Зеелигом
(1976).
С ростом у число неустойчивых собственных функций возрастает, как и число
истинно двумерных мод среди них. Не удивительно, что по мере того, как
нелинейные эффекты становятся все более важными, взаимодействие между
растущими модами уже больше не определяется линейными решениями, и
конечная конфигурация на данной стадии развития математики непредсказуема
по линейным ответвляющимся решениям.
Из (6.12) и в общем случае из (6.10) видно, что если один из размеров,
например Ь, существенно мал, то все т ^ 1 исключаются из диапазона
неустойчивых мод. Тогда задача превращается в одномерную задачу на
собственные значения с т = 0 и с п2/а2, удовлетворяющим
(6.10). В этом случае получающийся рисунок как в линейном, так и в
нелинейном случае представляет собой ряд поперечных полос, типичный вид
которых показан на рис. 6.4,6. С ростом b для фиксированного а
возможность появления истинно двумерных картин возрастает.
6.4. Пространственные структуры и влияние геометрии и размеров 285
Рассмотрим теперь усеченный конус п, показанный на рис. 6.5, на
поверхности которого происходят реакции с диффузией. Через радиальную,
азимутальную и аксиальную координаты г, 9 и 2 собственные функции,
эквивалентные (6.8),' выражаются, согласно приложению А6.3, формулой
е'тп' cos пв cos z, (6.13)
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed