Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 100

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 154 >> Следующая

п / п
п
п
^DV1ui(uV)uid(dB)- DV2u-V2udB +
дВ i,j - I
В
п
+
< 0 - d |V2u|2dB 4- 2тф, I
(5.108)
где мы использовали второе условие в (5.98), а именно (n- V)u = 0 для и
на дВ, а также определения d и т из (5.107).
В приложении 5, разд. А5.3, мы доказываем, что если (n-V)u = 0 на дВ, то
здесь л-наименьшее положительное собственное значение уравнения V2i|/ +
Зд|/ = 0, где <|/ скалярная функция в области В с нулевым потоком n -Vv|>
= 0 на границе дВ. С помощью (5.109) окончательно получаем из (5.108)
Уравнение (5.103)-это просто частный случай (5.110). Таким образом, и в
общем случае для достаточно большого d будет ф (tj 0, поэго-му Vu -> 0 и,
следовательно, все пространственные неоднородности стремятся к нулю для
больших t. На основании этого результата могут быть получены
асимптотические оценки для решений и (г, г) при больших значениях
времени-это сделали Конвей и др. (1978). Их анализ охватывает более
широкий класс уравнений, чем (5.97); они включают также конвективные
члены и получают соответствующий аналог оценки
Отмер (1975) отметил, что величина т, определенная формулами
(5.102) и (5.107), представляет собой меру чувствительности скоростей
реакции к изменениям концентрации участвующих компонент в том смысле, что
1/т это мера кратчайшего времени кинетической релаксации рассматриваемого
механизма реакций. С другой стороны, величина,
J j V2u| 2dB>\$ ? j Vu, \2dB;
(5.109)
В
В i = 1
ф ^ (2m - 2Ы)ф ^ lim cp(t) = 0, если m < Xd. (5.110)
(5.110).
254
Гл. 5. Биологические осцилляторы
/
обратная Xd, является мерой наиболее длительного времени диффузии.
Поэтому из результата (5.110) следует, что если наиболее короткое время
релаксации больше, чем наиболее продолжительное время диффузии (т.е. 1/т
> l/(Xd)), то с течением времени все пространственные неоднородности
будут стремиться к нулю, и решения будут вести себя так, как если бы
диффузионные эффекты отсутствовали.
Рассмотрим одномерное условие (5.104) в размерных переменных, приняв,
например, что длину L области мы выражаем в сантиметрах. В результате
получаем условие n2d/l? > т, где теперь d-в см2/с, а 1/т-в секундах. Если
L= 0(10 3 см), что типично для клеток, то пространственная однородность
достигается, если наиболее короткое время кинетической релаксации
удовлетворяет неравенству 1/т > > 0(Ю-7 см2/d). При d = 0( 10_6 см2/с)
это дает время порядка 10"1 с. На практике затруднения вызывает именно
оценка 1/т.
Если не зависящая от пространственных переменных система (5.97) имеет при
D = 0 единственное стационарное состояние, обладающее и локальной, и
глобальной устойчивостью, то при т <Xd все решения системы (5.97), (5.98)
с D ф 0 стремятся к этому стационарному состоянию независимо от начальных
условий u0(r). С другой стороны, если система с D = 0 имеет предельный
цикл, то условие т < Xd, как заметил Отмер (1977), достаточно для
возникновения глобально синхронизированных колебаний, которые не зависят
от начальных условий.
Следует здесь вновь повторить, что вышеприведенные результаты дают только
односторонние оценки и не позволяют точно охарактеризовать количественное
поведение решений системы реакций с диффузией. В следующем разделе мы
получим некоторые количественные результаты для физически (и
математически) интересной ситуации, когда условие т < Xd не выполняется.
5.9. Диффузионная неустойчивость и пространственные структуры в системах
реакций с диффузией в конечных областях
В разд. 5.8 мы видели, что для системы реакций с диффузией в конечной
области с нулевым потоком через границу диффузия, если она достаточно
велика, может быть сильным стабилизирующим механизмом. В такой ситуации
решения по истечении длительного времени стремятся к пространственно
однородному состоянию, которое может быть или устойчивым равновесием, или
устойчивым предельным циклом. Этот раздел будет вновь посвящен классу
(5.97) уравнений реакций с диффузией с нулевым потоком через границу (см.
(5.98)), но теперь мы рассмотрим ситуацию, когда бездиффузионная система
(D = 0) имеет устойчивое стационарное'состояние, которое становится
неустойчивым в линейном приближении, когда компоненты могут
диффундировать: это диффузионная неустойчивость по Тьюрингу (1952). Мы
увидим, как такая линейная диффузионная неустойчивость может порождать
устой-
5.9. Диффузионная неустойчивость и пространственные структуры 255
чивые пространственные неоднородности конечной амплитуды в ограниченных
областях при условии нулевого потока через границу. Как говорилось выше,
такая пространственная неоднородность известна в экологии как
пятнистость. Имеется несколько статей, посвященных возможности появления
пространственно неоднородных решений систем реакций с диффузией. Среди
них следует особо отметить работу Файфа (1976) 1).
Заметим прежде всего, что диффузия в скалярном уравнении реакции с
диффузией не может привести к диффузионной неустойчивости в линейном
приближении. Это нетрудно увидеть, рассмотрев скалярное уравнение u,
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed