Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Это доказательство, принадлежащее А. Дольду, опирается на следующую лемму.
Лемма 10.5. Если К -— комплекс абелевых групп, то существует такой комплекс X свободных абелевых групп и такое цепное преобразование f : X К, что отображение /* : Я„ (X) -*-Нп (К) является изоморфизмом для всех размерностей п.
Доказательство. Достаточно взять в качестве X прямую сумму комплексов Х(П) и цепных преобразований fm : Х{п) К, для которых (fin\ : Нп (Хш) Я„ (К) и Я, (Х(п)) = 0 для q?= п. При фиксированном п построим диаграмму
0-±Rn+i-U Fn-+Q j л
Kn+i * Кп*
§ 10. Формула Кюннета
221
Для этого сначала представим группу Сп n-мерных циклов комплекса К как факторгруппу свободной группы Fn; тогда получим отображение | : Fn -+Сп cz Кп- Затем положим Rn+i = 1~гВп и /: Rn+i -*-Fn — вложение. Поскольку группа Rn+i свободна и tjRn+i = дКп+и то Щ можно поднять до отображения г), которое делает диаграмму коммутативной. Теперь верхнюю строку рассмотрим как комплекс Х(п) с группой гомологий Fn/Rn+i ~ Сп/Вп — = Нп (К) в размерности п и нулевыми группами гомологий во всех остальных размерностях. Вертикальные отображения образуют цепное преобразование, индуцирующее изоморфизм групп гомологий в размерности п, что и требовалось.
Теорема 10:4 показывает, что гомологий комплекса К ® L порождаются циклами двух типов. Тип I — это цикл и & v, построенный из циклов и 6 К, V ? L; по нашей теореме Im р порождается классами циклов типа I. Рассмотрим тройку (els и, т, els v) в То Г! (Я (К), Я (L)); тогда существуют такие цепи k и /, что dk = mu, dl = то для одного и того же целого числа т; значит,-элемент
(1 lm)d(k ® I) —и ® I + (— l)n+1 k ig) v, dimu = n,
есть цикл (типа II). Можно проверить, что гомологический класс этого элемента определяется els и и els v по модулю Im р. Отсюда возникает следующее выражение для гомоморфизма Р в формуле Кюннета.
Предложение 10.6. Для такого элемента t = = (els и, т, els о>6 Tort (Я„ (К), Я (L)), что dk = mu, dl = mv, формула yt = (—l)n+1 els (1 Im) d (k ® t) определяет гомоморфизм
у: Tort (Я (К), Я (L)) ~*Н(К® L)/p [Н (К) ® Я (L)].
При выполнении условий теоремы 10.4 у является изоморфизмом, обратный к которому индуцирует р.
Доказательство. Поскольку D — К 1C, отображение Н (К <8> L) Н (D <g> L) переводит yt — els [(—1)"+1 и ® / + + k ® v) в els [(k + С) (g) v]. Отображение pS* из (10.6) переводит t в (k 0 С) ® els v, а затем в els [(k + С) ® v]. Совпадение этих двух результатов доказывает, что у индуцирует Р указанным способом.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что теорема 10.1 остается верной, если условие (i) заменить или условием (iii), т. е. когда Сп (К), Вп (К) и Нп (К) — плоские модули для всех п, или условием (iv), т. е. когда Сп (К), Вп (К) и Нп (L) — плоские модули для всех я.
222______________Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
2. Для конечно порожденных комплексов К я L, свободных абелевых групп вычислить числа Бетти и коэффициенты кручения комплекса К ® L, зная эти числа для комплексов К и L (см. 11.6; эта формулировка дает первоначальную теорему Кюннета [1923, 1924]).
3. Доказать теорему 10.4 следующим образом. Достаточно взять в качестве К конечно порожденный комплекс, следовательно, можно считать К элементарным комплексом (упражнение 11.2.2). В этом случае каждый цикл из AT® L можно записать как сумму циклов типа I и II; установить, что р — мономорфизм, a v из предложения 10.6— изоморфизм (Эйленберг — Маклейн [1954, § 12]).
4. Сформулировать формулу Кюннета для комплекса К ® L (g) М.
5. Используя эту формулу, установить для абелевых групп изомор- ' физмы
Тог (Л, Тог (В, С)) ss Тог (Тог (Л, В), С),
Ext (A, Ext (В, С)) г* Ext (Тог (Л, В), С).
§ 11. Теоремы об универсальных коэффициентах
Теперь мы можем перечислить различные группы гомологий комплекса. Если К — комплекс правых ^-модулей, а ВА и GH — модули, то, рассматривая А как комплекс (с Тривиальной градуировкой А = А0 и границей 3 = 0), можно построить комплексы
К, K®rA, Нотr(K,R), Нотя(К, G),
производные от комплекса К¦ Группы гомологий
Нп (К ®в A]U Нп (К, G) = Нп (Ногпд (К, G))
известны как n-мерная группа гомологий комплекса К с коэффициентами в модуле А и как n-мерная группа когомологий комплекса К с коэффициентами в G соответственно. Согласно нашим правилам о перемещении индексов вверх или вниз, Я" (Нотн {К, G)) — это Н-п (Нотя {К, G)). Когда К — положительный комплекс, Нп (K®RA) = 0 для п < 0, в то время как Я" (К, G) — 0 для п < 0; отсюда обычное написание индекса для групп гомологий внизу и для групп когомологий наверху. Для положительного комплекса К группа Нп {K®rA) иногда записывается как Нп (К, А). Предупреждение: не поднимать этот ивдекс, так как он приобрел бы иной смысл Я"" (К, А) = Я„ (Нот (К, Л)).
Рассмотрим комплексы абелевых групп (R = Z). Если каждая группа Кп свободна, то теорема об универсальных коэффициентах (теорема II 1.4.1)—это точная последовательность
