Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
209
тов G и Л, которую мы временно обозначим как
Тор*(С,Л)=Яп(Х®дЛ).
Очевидно, что это функтор от аргумента Л, а также функтор и от аргумента G. Действительно, пусть задан гомоморфизм т) : G G'. Выберем проективную резольвенту &' : X' -> G', накроем т) цепным преобразованием / : X -*¦ X' и построим индуцированное отображение /* : Нп (X ® Л) -*¦ Нп (X' 0 А). По теореме сравнения любые два из таких преобразований / гомотопны, так что /* зависит только от г] и дает отображение г)„ : Topn (G, А) Topn (G', А). Поэтому Тор„ — ковариантный бифунктор, который мы отождествим теперь с Тогп. (Часто Тог„ определяют так, как мы определили Торп.)
Теорема 8.1. Для резольвенты г : X-*~G модуля GH и для модуля дЛ существует гомоморфизм
со: Tor»(G, Л)—>Яп (X ®дЛ), п = 0,1, (8.1)
естественный по А. Если X — проективная резольвента, то со — изоморфизм, естественный по G и А.
Набросок доказательства. Каждый элемент (р, L, v) из Тогп состоит из проективного комплекса р, : L -*¦ G длины п над G и n-мерного цикла (1, Ln, v) ? Тог0 (Ln, А) комплекса L ® Л; следовательно, он определяет гомологический класс в Я„ (L ® Л). Сравнение L -*¦ X определяет элемент в Яп (X ® Л), т. е. элемент из Торп.
Доказательство. Возьмем элемент t = (ц, L, v) из Torn (G, Л). По теореме сравнения имеется цепное преобразование h : L X проективного комплекса L над G (с отображением р) в точный комплекс X над G (с отображением е). Положим
со (ц, L, v) = els (hn, Ln, v)?Я„ (X <g> Л).
Это определение имеет смысл, так как А„ : Ln Хп, v : L% -*¦ А, и поэтому (hn, Ln, v) ? Тог0 (Хп, А) — Хп ® Л. Кроме того, элемент (hn, Ln, v) является циклом в X ® А, так как
д(Нп, Еп, у)~(дНп, Еп, v) = (hn—id, Еп, v) =
— (hn-1, Ln-i, vd*) = (An-it Ln~i, 0) = 0.
Гомологический класс этого цикла однозначно олределяется элементом (р, L, v), так как если А' : L X есть другое цепное преобразование, накрывающее 1с, то существует гомотопия s, для которей h^ = hn + ds„ + Sn-id. Тогда
(hn, Ln, v) = (hn, Ln, v) + (dsn, Ln, v) + (s„_1a, Ln, v) =
— (hn, Ln» v) -f- d (s^, Ln, v)-f (Sn-%» Ln-1, 0);
14—353
210_____________Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
т. е. цикл (h’n, Ln, v) равен исходному циклу (A*, Ln, v) плюс элемент границы. Далее, если t = (ц'р, L, v) и f = (ц', L', vp*) для некоторого р : L', элементы, равные согласно определению •
группы Тог„, а К : V -> X, то h'p : L -> X и at = a>t' в Тог0-Для установления гомоморфности со отметим, что два цепных преобразования hl : L% X порождают преобразование
V (Л1 ® Л2) : L1 0 L2 -*¦ X, и поэтому
© [(щ, L1, vt) + (ц2, L2, v2)] = © [V (щ 0 ц2), L1 © L*, V (v? © v2)] =
= els [V {hn©h\), L„@Ln, V (Vj©v2)] — ©(m.1, L1, v4) + й> (ц2, L2, v2). '
Естественность fi) по аргументу А проверяется непосредственно, а указанная в теореме естественность по G вытекает из того замечания, что цепное преобразование / : X X', накрывающее т) : G-»-G', умноженное на h : L -> X, дает преобразование fh:L-*~ X Достаточно показать, что о — изоморфизм, для свободной резольвенты X. Любой гомологический класс в X ® А является классом цикла из некоторого X' ® А, где X' — подходящий 5 конечно порожденный подкомплекс комплекса X. По следствию 7.4 этот цикл можно записать в виде (1, Х’п, v) для некоторого гомоморфизма v : Хп* А. Если в комплексе X' с отображением е' : X" -*~
G отбросить все размерности, большие п, то мы получим один из комплексов L, использованных при определении Тогп, так что t = (е\ X', v) — это элемент группы Tor„ (G, А). Вложение
i : X* -*¦ X показывает, что at = els (i, Х’п, v). Следовательно, fi) — эпиморфизм.
Остается доказать, что со — мономорфизм. Предположим, что at = 0 для некоторого t. Это значит, что цикл (Л7г, Ln, v) является границей в. X ® А, следовательно, границей в комплексе X' ® А, где Xf а X — конечно порожденный свободный подкомплекс комплекса X. Выберем X* так, чтобы он содержал h (L). Тогда преобразование h : L -> X порождает, преобразование h'_ : L -> Х\ причем элемент (Кп, Ln, v) = (1, Х'п, vh'„*) является границей (п-f 1)-мерной цепи из X1 ® А. Используя следствие 7.4, запишем эту цепь как (1, Х'п+и ?), где % : X?+i А. Теперь
{\,Хп, vft;*)=а(!,*;+„ o=(i,x;, td*),
откуда ввиду утверждения о единственности из того же следствия vh'n = t,d*. Пусть — часть комплекса X* от Х'0 до Х'п включительно, а п+\Х" — часть от Х'г до X'n+i', тогда отображения h* : L г "X* и д : п+\Х' «X* являются цепными преобразованиями.
Исходный элемент t из Torn (G, А) принимает вид
(ц, L, v) = (e'A', L, v) = (8', оХ', vh’*) =
= (е', ?Х\ ,?d*)W (е'д, П+|Х', Е)-(0, —) = 0,
§ 8. Периодические произведения и резольвенты
т. е. t = 0, что и требовалось доказать. Доказательство закончено.
Удобно иметь гомоморфизм, обратный к со.
Следствие 8.2. Если r\ : Y G — проективный комплекс над G, то существует гомоморфизм
т :Hn(Y 0R А) Тог” (G, А), (8.2)
