Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Для построения обратного отображения 0 используем предложение 7.2 и запишем каждый элемент из Того (G, Q как (ц, F, v), где ц/. F -> G, V. F* -> С и F — конечно порожденный свободный модуль. Выберем произвольную систему еи . . ., ет свободных образующих модуля F, введем сопряженный базис е1, . . ., ет в F* и положим
т
0(ц, F, V) = 2 I1 (е0 <8> v (el)?G <g> RC.
г=\
Запишем гомоморфизм р : F F' через базисы et и е) в виде pet = = 2 е]гц, где {г;г} — матрица из элементов кольца R. Тогда
3
р*е’з = 2 гпе1 и
0 (м-'р, F, v) = 2 (2 Р' (e’jrjt) ® ve4) =
i j
= 2 (li'ei ® 2 v (rjie1)) = © (I*', F', vp*).
3 »
Это равенство показывает, что отображение 0 корректно определено в смысле равенства в группе Тог; следовательно, если F = F' и e’j — другой базис в F, то тем самым показано, что определение ©
§ 7. Периодические произведения модулей
205
не зависит от выбора базиса в F. Поскольку 0 — двусторонне обратное к предыдущему отображению, то доказательство закончено.
Следствие 7.4. Для конечно порожденного проективного правого R-модуля L естественный изоморфизм % : Нотл (L*, С) а* ^ L (&RC определяется равенством i (v) = (1l, L, v). Следовательно, каждый элемент t из Тог„ (L, С) имеет единственное представление в виде t = (lt, L, v) для некоторого гомоморфизма v : L* С.
Доказательство. По свойству аддитивности (предложение 7.1) 1 — естественный гомоморфизм. Чтобы показать, что 1 — изоморфизм^ достаточно доказать, что произведение
L®rC^L**®rC Л HomH(L*, С) Л Tor„(L, С)
равно тождественному отображению, где ? — изоморфизм, определенный в предложении 4.2. Если L = R, то определения показывают, что произведение равно единице; поскольку все функторы
аддитивны, это же справедливо для конечно порожденных свободных модулей L. Произвольный же проективный модуль L является прямым слагаемым свободного модуля F с конечным числом образующих. Поскольку отображения | и ? естественны, их произведение отображает прямые слагаемые в прямые слагаемые; поэтому доказываемое равенство справедливо для любого L.
Периодические произведения симметричны относительно G и А. Для доказательства построим из кольца R антиизоморфное ему кольцо Яор: аддитивная группа кольца Rov изоморфна аддитивной группе кольца R, причем этот изоморфизм устанавливается соответствием г гор, а умножение в Rop определяется равенством ropsop = (sr)op_ Каждый правый i?-моду ль G превращается в левый #°р-модуль, если положить ropg=gr; по симметрии каждый левый R-модулъ А становится правым /?°Р-модулем.
Предложение 7.5. Соответствие (ц, L, v) (v, L*, ц) является изоморфизмом
T°rn (G, А) = ТоГп°Р (A, G) п = 0, 1, ....
Доказательство. Комплекс L* состоит из конечно порожденных проективных Яор-модулей. Следовательно, соответствие определено корректно и, очевидно, является изоморфизмом.
Для короткой точной последовательности Е = (и,а): А >* ^ В -» С и элемента t = (ц, L, v) •? Torn (G, С), где п > 0, можно определить произведение Et 6 Torn_d (G, А). Пусть v : L* С и Е — комплексы над С, первый из которых проективен, а второй точен. По теореме сравнения существует цепное преобразование ср, такое,
206_____________Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
что
-----
|,<Рл-1 |,<рл || (7.5)
?:0—>Л----> В —> С—>0.
Пусть "-JL обозначает цепной комплекс длины п — 1, образованный выбрасыванием последнего модуля Ln из L; положим
Е (ц,, L, v) = (ц, n~\L, фп-i). (7.6)
Теорема 7.6. Для Е ? Ext1 (С, А) и t в Tor„ (G, С) произведение Et является корректно определенным элементом группы Torn_! (G, А), причем имеют место законы ассоциативности
а(?0 = (о?)/, (Еу)Г = Е(у.Г), ? (V) = Л* (#). (7-7)
гд? а : А -> А', y : С' С, г) : G-*- G” и t‘ 6 Тог„ (G, С')- Это умножение порождает гомоморфизм
Ext1 (С, Л) 0z Torn (G, С) Tor^-j (G, Л), л *= 1, 2,___ (7,8)
Доказательство. При любом другом выборе ф' для цепного преобразования ф из (7.5)’ф и ф’ будут гомотопны, поэтому, существует такой гомоморфизм s : L* -> Л, что фп-t = фп-1 + s8. Произведение Et, определенное с помощью ф\ равно
(ц, n~\L, ф;_!) = (ц, n_oL, фп-1> + (ц. n~qL, s8).
Пусть ’JL — комплекс, полученный из L выбрасыванием первого модуля L0; тогда д: \L n~\L — цепное преобразование, и поэтому второй член написанного равенства есть (±цЭ, \L, s) = (0, ’JL, s)=0. Значит, произведение ?/не зависит от выбора ф. Если в группе Тогп имеет место равенство (ц'р, L, v) = (ц', L’, vp*) для некоторого р : L V , то произведение фр* является цепным преобразованием, и произведения
? (ц/р, L, v)=(n'p, n_oL, ф71_1)=(ц', "_оL', ф„-1р^1)=? (м>% L', vp*) равны. Значит, произведение Et определено корректно.
Рассмотрим законы ассоциативности (7.7). При а : А -> А' присоединим морфизм ?->а? снизу к диаграмме (7.5). Тогда получим (а?) (ц, L, v) = (ц, п~\Ь, афп-0 = а (|х, п~\Ь, ф^) = = а |? (ц, L, v) ], что и доказывает первое из правил (7.7); с помощью аналогичной большой диаграммы для у : С" С, Еу € Ext1 (С', А) и /' ? Тогп (G4C') устанавливается второе из правил (7.7); третье же вытекает непосредственно из определений.
