Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 82

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 227 >> Следующая

где qA обозначает подгруппу таких элементов а 6 Л, для которых да = 0. Действительно, каждый элемент а в дЛ порождает элемент la — (go, q, а) в Тог (Zq, А); ввиду (6.2) отображение С является гомоморфизмом. Для отыскания гомоморфизма т} в обратном направлении запишем каждый элемент из Zq как g0 k для некоторого
k 6 Z; каждый образующий периодического произведения имеет
вид (g0k, т, а), где та = 0 и mk = 0 (mod q). Если п = mklq,
то из (6.3) и (6.4) получаем
(gok, т, a) = (g0, km, a) = (g0, q, па).
Это наводит на мысль, что т] нужно определить, положив ¦П (g0k, т, а) — (mklq) а. Читатель должен проверить, что при этом определении г) остаются в силе определяющие соотношения
498 Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
(6.1)—(6.4) в том смысле, что элементы, равные по определению в Тог, переходят в равные элементы подгруппы ЧА. Тем самым будет показано, что т] порождает гомоморфизм т): Tor (Zq, А) qA. Далее, т]?а — а, а подсчет, проведенный выше, показывает, что ?4 — 1. Следовательно, ri и С — взаимно обратные изоморфизмы, что и утверждалось.
При фиксированной циклической группе изоморфизм (6.5) естествен по аргументу А, но зависит от выбора образующего циклической группы Zg.
Периодическое произведение, обусловленное неточностью функтора ®, измеряет эту неточность, как показывает следующая теорема.
Теорема 6.1. Если Е — (х, о) : А >-» В -» С есть точная последовательность абелевых групп, то каждая абелева группа G порождает точную последовательность
О -> Tor (G, А) -> Tor (G, В) % Tor (G, С)
о. <6'6)
Отображения этой последовательности, кроме Е%, индуцированы х и а, а ?* определяется на образующих группы Тог (G, С) следующей формулой:
E*(g, rn, c) = k(g, т, с), (6.7)
где элементы k взяты из (5.2.). Отображение Е^ естественно, если его аргументы рассматривать как бифункторы от аргументов Е и G.
Доказательство. Отображение Е* является гомоморфизмом, потому что тождества, выписанные для элементов k в (5.3) —(5.5), в точности совпадают с определяющими соотношениями для Тог. Естественность отображения доказывается легко.
Поскольку каждый элемент k (g, т, с) лежит в Кег (1 <g) х),
получаем (1 <g) х) Е+ = 0, а также проверяется, что ?*(7* = 0. Как обычно, наиболее трудный пункт в доказательстве точности — это показать, что каждый элемент ядра содержится в соответствующем образе.
Мы утверждаем, что для доказательства этого достаточно рассмотреть случай, когда группа G имеет конечное число образующих. В Качестве примера рассмотрим точность в члене G ® А. В элемент и = Sgt ® а-г из G ® А входит только конечное число элементов из G. Если его образ (1 <g> х) и — 2 gi (g> v.ai равен нулю в G ® В, то равенство нулю устанавливается с помощью конечного числа определяющих соотношений для G ® В\ в эти соотношения вновь входит только конечное число элементов /ц, . . ., hm группы G. Пусть Go — подгруппа группы G, порожденная всеми элементами git . . ., gn
§ 6. Периодические произведения групп
199
и hu . . hm, которые нам встретились, и пусть i :G0-*-G — вложение. Тогда и0 = 2 gt <8> at является элементом из G0 <g) А, причем (i <Э 3) «о = и. Ввиду естественности отображений диаграмма
Tor (G0, С) G0 ® А Go ® В
Ji* juSSi |i®i
Tor (G, С) G ® Л G ® j3
коммутативна, и мы можем предположить, что верхняя строка точна. Поскольку в G0 содержатся все элементы hj ? G, использованные при установлении равенства = 0, эти же самые элементы устанавливают, что х*и0 = 0 в G0 <g) В. В силу точности верхней строки существует такой элемент t0 ? Тог (G0, С), что ?*?0 = u0. Однако E*iJ0 — (i<S> 1) E*t0 = (t<g) 1) u0 = и, что и доказывает точность нижней строки в члене G <g) А.
Это рассуждение не зависит от частного вида определений групп Тог и ®, а использует лишь то обстоятельство, что эти группы описываются с помощью образующих и определяющих соотношений.
Вернемся к доказательству точности. Пусть теперь группа G конечно порождена, и значит, представима как прямая сумма циклических групп. Поскольку оба функтора Тог и ® переводят прямые суммы в прямые суммы, последовательность (6.6) является прямой суммой соответствующих последовательностей для циклических групп G. Если G = Z — бесконечная циклическая группа, то все периодические произведения равны нулю, а сама последовательность изоморфна исходной последовательности Е. Если G = Zq — конечная циклическая группа, то различные члены уже вычислены в (1.9) и (6.5); эти вычисления приводят к диаграмме, центральная часть которой имеет вид
Е*
------> Тог (Ze, В) -> Тог (Z„ С) Л zq <g> А -> • • •
fc
E+t
• • • ——> qB-------------> qC----------> AlqA —> • • • .
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed