Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Например, если R — поле, то любой конечно порожденный модуль V (т. е. любое конечномерное векторное пространство) свободен. Для таких пространств V** а* V, а при У id W
<y/W)*s* Annih W; FVAnnih W & W*.
Для левых модулей А и С существует естественный гомоморфизм ?:Л*®йС-^Нотв(Л, С), (4.4)
определенный для каждого гомоморфизма f: А -*¦ R и каждого с 6 С равенством [? (/ ® с)] а = f (а) с для всех а. Можно проверить, что ? (/ <g) с) — модульный гомоморфизм А С и что этот гомоморфизм является биаддитивной и внутренне ассоциативной функцией от / и с.
Предложение 4.2. Если L — конечно порожденный проективный левый R-модуль, то ? является естественным изоморфизмом
I = : L* ®л С & HomH (L, С).
Например, если V и W — конечномерные векторные пространства, то положим L = V* и С = W. Тогда L* а* V, так что изоморфизм ? устанавливает соответствие V <g) W а* Нот (У*, ИР). Значит, тензорное произведение векторных пространств конечной размерности может быть определено с помощью функтора Нош и сопряженных модулей. С другой стороны, V <g) W — пространство, сопряженное к пространству билинейных отображений прямого произведения V yW в основное поле.
Доказательство. Сначала предположим, что модуль L = F свободен, а е1у . . ., еп —его образующие. Относительно сопряженного базиса е1, . . ., еп каждый элемент из F* ® С имеет единственное представление в виде 2 el <g) си где константы сг ? С. Но ? (2 ех ® ci) = / — это такой гомоморфизм / : F С, что
/ (ej) = Cj, j= 1... п. Поскольку F — свободный модуль,
любой гомоморфизм /: F-*- С однозначно определяется своими значениями f (е^ для всех /. Следовательно, tF — изоморфизм. Случай конечно порожденного проективного модуля L рассматривается теперь так же, как и в доказательстве теоремы 4.1.
Предложение 4.3. Если L и В — модули над коммутативным кольцом К и если модуль L конечно порожден и проективен, то существует естественный изоморфизм : L* ® В* & (L ® В)*.
13-353
194_____________Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
Доказательство. Для любых двух К-модулей А и В определим естественный гомоморфизм г|з : A* <g) В* -> (А ® В)*, положив для f 6 A*, g?B*
N’ (/ ® ?)] (а ® = / (а) ё Ф) € К.
Это отображение г|з является произведением
A* <g) В* Д- Нош (А, В*) = Нот (Л, Нот (В, К)) ^ Нот (Л ® В, К)
гомоморфизма ? из (4.4) и изоморфизма сопряженной ассоциативности. Последний множитель всегда есть изоморфизм, а С — изоморфизм, если Л = L — конечно порожденный проективный модуль.
Замечанне. Дальнейшее изучение сопряженности можно найти у Дьедонне [1958], Морита [1958], Басса [I960] или Дженса [1961].
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для каждого модуля rA показать, что отображение 0 (а 0 /) = fa определяет бимодульный гомоморфизм 0: A (g)z А* -*¦ R.
2. Для модулей rA, Gr бнмодульный гомоморфизм i|) : A G-*¦ R называется спариванием. Показать, что гомоморфизм г|з определяет такой гомоморфизм i|)g: G -> А*, что 1|) = 0 (1 0%), где гомоморфизм 0 определен в упражнении 1.
3. Для каждого /?-модуля А показать, что произведение
<Р.(А*)- <Фд)*
А* —> А***-------> А*
равно единице.
§ 5. Точность справа тензорных произведений
Тензорное умножение сохраняет точность коротких точных справа последовательностей.
•So Теорема 5.1. Если G — правый R-модуль, a D -*¦ В С — точная последовательность левых R-модулей, то
G®rD ^>G®rB-^>G®rC^0 (5.1)
является точной последовательностью (абелевых групп).
Доказательство. Построим точную последовательность
G ®яО —G ®RBЛ L О,
в которой L — коядро 1 ® р, и сравним ее с последовательностью
(5.1). Произведение (1 ® а) (1 ® Р)=1 ®оР равно нулю, поэтому гомоморфизм 1 <g) о представим в виде о'г) для некоторого гомомор-
§ 5. Точность справа тензорных произведений
195
физма о* : L-*-G ®н С. Поскольку а (В) = С, для каждого элемента с из С найдется такой элемент Ь, что ab = с. В силу точности в В каждый элемент г] (g (?) Ь) зависит только от g ? G и с ? С, но не зависит от выбора Ь. Более того, функция т] (g <g) b) биадди-тивна и внутренне ассоциативна. Следовательно, по теореме 1.1 имеется гомоморфизм со : G ®д С L, для которого со (g ® с) = = Л (ё <8> Ь) и а'со = 1, © о" = 1. Поэтому изоморфизм со : G СшЬ дает изоморфизм последовательности (5.1) с построенной последовательностью, и, следовательно, последовательность (5.1) точна.
Следствие 5.2. Тензорное произведение двух эпиморфизмов является эпиморфизмом.
Доказательство. Если т и а — эпиморфизмы, то по теореме t® 1 и 1 ® о также эпиморфизмы, а значит, и их произведение (т <g) 1) (1 ® о) = т <g) а является эпиморфизмом. О ядре отображения tig) а см. лемму VII 1.3.2 или упражнение 3 в конце параграфа.
Было бы неверным утверждать в теореме 5.1, что короткая точная последовательность (х, а) : А >-* В -» С порождает короткую точную последовательность, подобную последовательности (5.1), так как если х : А -*¦ В — мономорфизм, то гомоморфизм
