Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Y®(a + P) = Y(g)a + Y® Р, (Yi + Y2) ® a = yi <g) a + у, ® a. (1.5)
184
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
Эти равенства можно применить к диаграмме прямой суммы и получить изоморфизм
?:G®B(^®B)^(G<g>B4)@(G(g)BB). (1.6)
С другой стороны, поскольку отображение (g <g) a, g ® b) внутренне линейно по g и (а, 6), мы можем построить изоморфизм ? непосредственно с помощью теоремы 1.1 как такой гомоморфизм С : G ®и (А ® В) (G ®л А) © (G ®в В), что ? [g ® [а, Ь)\ = = (g ® a, g <8> Ь)\ С-1 можно построить, используя отображения g ® а-+ g ® (а, 0) и g <g) 6 g <g) (0, Ь).
Кольцо R можно рассматривать или как левый, или.как правый модуль над самим собой. Для модулей GB и ВА имеются изоморфизмы (абелевых групп)
G®rR^zG, R ®RAs^A, (1.7)
которые задаются отображениями g ® гgr, г ® а-*- га.
Если р: SR — кольцевой гомоморфизм, то каждый правый /^-модуль G становится правым 5-модулем Gp при следующем определении действия операторов: gs = g (ps). Аналогично каждый левый Я-модуль А становится левым S-модулем РА; это «отступление вдоль р», определенное в II 1.6. Если р': Т-> S — второй кольцевой гомоморфизм, то G(pp') = (Gp)p', а (РР')А = р> (РА), т. е. в обратном порядке.
Лемма 1.2. (Лемма об отступлении.) Для любого кольцевого гомоморфизма р : S -у R и модулей GR, RA, RC существуют естественные гомоморфизмы
P# : (GP) <8>s (рА) -> G ®н А, р#: Ноши (С,А) —» Homs (РС,РА).
(1.8)
Если р — эпиморфизм, то оба гомоморфизма р# и р# являются изоморфизмами.
Доказательство. Для любых элементов g ? G, а 6 А, s 6 S
gs ®л а = gp (s) ® л а = g ®в P («) а = g <g>в sa,
так что функция g ®н а внутренне S-ассоциативна. Поэтому по теореме 1.1 отображение р# (g (8>s^) = g ®д а определяет гомоморфизм. Если р (R) = S, то для р# имеется обратное отображение g а-> g <g)s а. Аналогично каждый R-модульный гомоморфизм /: С-у А является S-модульным гомоморфизмом и обратно, если Р (S) = R.
Как правило, мы не будем писать индекс р у модулей Gp, РА, если он подразумевается в G ®s А.
§ 1. Тензорные произведения
185
Абелева группа А является модулем над кольцом целых чисел Z, поэтому наше определение тензорного произведения включает в себя определение тензорного произведения G ® А двух абелевых групп (здесь знак 0 стоит вместо ®2). В этом случае любая биад-дитивная функция / (g, а) автоматически внутренне ассоциативна, потому что для любого натурального числа т
f (mg, a) = f(g-i----1-g, a) — f (g, a)-\---\-f(g, a) =
= /(?> ------H) = /(g. та).
Это равенство выполняется также и для отрицательных т, поскольку / (—g, а) = — f (g, а) = f (g, —а). Следовательно, условие внутренней ассоциативности (1.2) можно в определении <g)2 опустить.
Тензорное произведение конечных абелевых групп можно точно вычислить. Для каждого положительного целого числа т обозначим через Zm (go) циклическую группу с образующим g0 порядка т, а через тА обозначим подгруппу группы А, которая состоит из всех кратных та элементов а 6 А. Мы утверждаем, что изоморфизм
ту. A/mAs*Zm(g0) ® А (1.9)
можно задать, положив ri (а + тА) = g0 ® а. Действительно, поскольку go 0 та = mg0 ® а = 0, произведение go <8> а зависит только от смежного класса элемента а по подгруппе тА, следовательно, т} — гомоморфизм А/тА -> Zm (§) А. Для построения гомоморфизма, обратного к г), заметим, что любой образующий тензорного произведения имеет вид kg0 (§) а для некоторого k 6 Z; поскольку произведение ka дистрибутивно по обоим множителям, формула г|з (kg0 <8> я) = ka + тА определяет гомоморфизм, направленный справа налево в (1.9). Очевидно, что ifri = 1, в то время как ТТФ (kgo <8> а) = go <8> ka — kg0 <g) а, так что и туф = 1. Значит, ¦Л и г|з — взаимно обратные изоморфизмы, что и доказывает (1.9).
Ввиду (1.7) имеется также изоморфизм Z <g) А ^ А. Поскольку любая конечно порожденная абелева группа является прямой суммой циклических групп Z и Zm, эти формулы вместе с (1.6) дают способ вычисления G <g) А, где G— конечно порожденная группа. Отметим также, что G ® А ^ А ® G. .
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что Zm(g)Zn s Zm,n), где (т, п) —наибольший общий делитель тип.
2. Показать, что G(g)R 2^*
186 Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
3. Показать, что тензорное произведение двух свободных модулей есть свободная абелева группа.
4. Если Q — аддитивная группа рациональных чисел, то показать, что Q ® Q « Q.
§ 2. Модули над коммутативными кольцами
Значение тензорных произведений можно показать, разобрав несколько других частных случаев. Если К — коммутативное кольцо (как обычно, с единицей), то любой левый К-модуль А можно рассматривать и как правый К-модуль; просто считая по определению кратные ak, где k ? К, равными ka. Равенство а (kk') = (ak) k' выполнено в силу коммутативности кольца К: a (kk') — (k'k) а = k' (ka) = (ak) k'\ остальные аксиомы из определения правого модуля устанавливаются еще более непосредственно. Ввиду этого замечания бесполезно делать различие между левыми и правыми модулями над К; вместо этого мы будем просто говорить о модулях и писать скалярные множители с той стороны, с какой будет удобнее.
