Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 73

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 227 >> Следующая

Для произвольного топологического пространства X обозначим через Aut (X) группу всех гомеоморфизмов X с самим собой. Группа П действует, на пространстве X, если задан гомоморфизм ц : П ->¦ Aut (X). Эквивалентно, каждому элементу а в Пи каждой точке х 6 X однозначно сопоставлена точка ах = ц (а) х ? X таким образом, что отображение ах непрерывно по х при каждом фиксированном а и (aia2) х = at (а2х), 1х = х. Открытое множество U из X называется собственным (относительно действия П), если aU {] U = 0 (пустое множество) для всякого аф 1. Любое открытое подмножество собственного множества собственно. Говорят, что группа П действует собственным образом, если каждая точка из X содержится в собственном открытом множестве; тогда каждое открытое множество в X является объединением собственных открытых множеств, так что собственные открытые множества образуют базу топологии пространства X. Если П действует соб-
§ 11. Пространства с операторами
177
ственным образом, то ни один гомеоморфизм ц, (а) с а Ф 1 не оставляет на месте ни одной точки х.
Предположим теперь, что П действует собственным образом на X. Факторпространство Х/П— это пространство, точками которого служат траектории точек из X при действии группы П. Пусть проекция р : X X /П — это отображение, сопоставляющее каждой точке х ее траекторию рх. Значит, рхi = рх2 тогда и только тогда, когда существует такой элемент а ? П, что ах^ = х2. Топология в Х/П определяется выбором множеств pU в качестве базы открытых множеств, где U — собственное открытое множество из X относительно П; множества V = pU называются собственными в Х/П.
Предложение 11.1. Отображение р : X -> X /П непрерывно. Пространство Х/П покрыто собственными открытыми множествами V; каждое множество p_1V есть объединение таких попарно непересекающихся открытых множеств Ua, для которых ограничение р \ Ua является гомеоморфизмом Ua ^ V. |
Это предложение утверждает, что X есть «накрывающее пространство» для X /П относительно отображения p. Ua при этом являются листами пространства X над У.
Доказательство. Если U — собственное множество и V = pU, то р_1У является объединением множеств ail для а ? П. Эти множества попарно не пересекаются в силу того, что U собственно. Каждое множество aU отображается на V при отображении р, причем все эти множества собственны и отображаются на собственные множества в Х/П, так что р | aU, действительно, гомеоморфизм.
Например, пусть X — действительная прямая Е1, а П — бесконечная (мультипликативная) циклическая группа с образующим с, действующая на Е1 по правилу chx = х + k для любого целого k. Тогда открытые интервалы на прямой длины, меньшей чем 1, являются собственными открытыми множествами, так что П действует собственным образом. Факторпространство Е1/П гомеоморфно единичной окружности S1. Если мы отождествим Е1/П с S1, то отображение р : Е1 S1 принимает вид рх = e2nix и накручивает прямую Я1 на окружность S1. Аналогично свободная абелева группа с двумя образующими b и с собственно действует на евклидовой плоскости ?а по правилу bkcl (х, у) = (х + k, у + /); здесь b — это горизонтальный сдвиг, а с — вертикальный сдвиг на одну и ту же единицу. Факторпространство Е2/П — это двумерный тор S1 xS1. Далее, циклическая группа порядка 2 собственно действует на двумерной сфере S2, отображая каждую точку в диаметрально противоположную; при этом S2/n — действительная проектив-
12—353
178
Г$. IV. Когомология групп
ная плоскость. Во всех этих случаях X — «универсальное накрывающее пространство» пространства Х/П, а П —«фундаментальная группа» Х/П (Ху Сы-Цзян [1959]).
Теперь рассмотрим сингулярную гомологию пространства X, определенную в гл. II.
Лемма 11.2. Если группа П действует собственным образом на пространстве X, то сингулярный комплекс S (X) является комплексом свободных И-модулей.
Доказательство. Группа Sn (X) n-мерных цепей — это свободная абелева группа, порожденная сингулярными «-мерными симплексами Т : Дп-»-Х. Для каждого а 6 П произведение аТ также является сингулярным л-мерным симплексом; операторы Т аТ превращают Sn (X) в П-модуль. Если dtT есть i-я грань симплекса Т, то a (dtT) = dt (аТ), следовательно, д — 2 (—1)* dt: Sn -> Sn~i есть П-модульный гомоморфизм. Значит, S (X) — комплекс П-модулей. Для доказательства того, что модуль Sn (X) свободен, выберем некоторое подмножество Х0 <= X («фундаментальная область»), содержащее ровно по одному элементу из каждой траектории пространства X относительно действия П. Тогда те сингулярные n-мерные симплексы Т, первая вершина которых принадлежит Х0, образуют множество свободных образующих для Sn (X) как модуля.
Лемма 11.3. Если группа П действует собственным образом на пространстве X, то любой симплекс Т : Дп Х/П можно представить в виде Т = рТ", где Т" : Дп X. При подходящем выборе для каждого Т одного Т' симплексы Т' образуют множество свободных образующих в Sn (X) как в И-модуле.
Мы будем говорить, что Т можно накрыть отображением Т'\ возможность такого накрытия в действительности вытекает из более общего факта накрытия отображений в накрывающем пространстве.
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed