Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 10.3. Если Р и Q — максимальные р-подгруппы в G и Р нормализует Q, то Р — Q.
Доказательство. Пусть PQ обозначает подгруппу из G, порожденную Р и Q. Поскольку Р нормализует Q, то Q является нормальным делителем в PQ. Поскольку Р является р-группой/ то и факторгруппа Р/Р П Q^PQ/Q является р-группой. Значит, группа PQ есть расширение р-группы Q с помощью р-группы Р/Р П Q и, значит, сама является р-группой. Так как Р не содержится ни в какой большей р-подгруппе, то Р = PQ, откуда Р zd Q. Так как Q не содержится в большей р-подгруппе, то Р =
= Q.
Любая подгруппа, сопряженная с максимальной р-подгруппой, сама является максимальной р-подгруппой. Более того, имеет место
Теорема 10.4. Любые две максимальные р-подгруппы конечной группы сопряжены.
Доказательство. Пусть S .— множество всех подгрупп, сопряженных в G, с некоторой максимальной р-подгруппой Р, и пусть Р действует на S с помощью сопряжения. По лемме точка Р' ? S является одноточечной траекторией только тогда, когда Р' = Р. Число точек в любой другой траектории является индексом подгруппы из Р и поэтому делится на р. Следовательно, число точек в S сравнимо с 1 по модулю р.
Любая максимальная р-подгруппа Q 6 G действует на S с помощью сопряжения. При этом действии каждая траектория имеет или одну точку, или число точек делится на р. Установленное выше сравнение показывает, что существует одноточечная траектория Р‘: Другими словами, Q нормализует некоторую подгруппу Р\ сопряженную с Р, так что по лемме Q = Р* и сама сопряжена с Р.
Теорема 10.5. (Теорема Шура — Цассенхауза.) Если целые числа тип взаимно просты, то любое расширение группы порядка т с помощью группы порядка п расщепляется.
§ 10. Теорема Щура
175
U
Доказательство. Пусть G В -» П -*• такое группог вое расширение, в котором G имеет порядок т, а П — порядок п.. Это расширение расщепляется, если для а есть правый обратный, т. е. если В содержит подгруппу (также порядка п), которая отображается изоморфно на П эпиморфизмом а.
Предположим сначала, что группа G абелева. Тогда данное расширение есть элемент е ? Я2 (П,(?). По предложению 5.3 пе = 0; очевидно, что те = 0. Поскольку тип взаимно просты, е = = 0, поэтому расширение расщепляется.
Для неабелевой группы G доказательство проводится индукцией по порядку т группы G. Достаточно доказать, что расширение В содержит подгруппу порядка п, так как такая подгруппа отобразится при гомоморфизме В П на П изоморфно.
Возьмем простое число р, делящее т, и максимальную р-подгруп-пу Р в В. Нормализатор N подгруппы Р определяется как множество всех элементов Ь, для которых ЬРЬ_1 = Р. Индекс [В : N] показывает тогда число подгрупп, сопряженных с Р в группе В. Все эти сопряженные подгруппы должны лежать в G и являются там максимальными р-подгруппами. По теореме 10.4 они все сопряжены в G. Пересечение G П N является нормализатором Р в G, поэтому индекс [G : G П Л/] равен числу подгрупп, сопряженных с Р, и, следовательно, равен \В : N1. Это равенство индексов (см. диаграмму) доказывает, что п — [B:G] = [iV:G П N].
В
Теперь Р и G f| N — нормальные делители в N, а факторгруппа N/Р является расширением группы (G П N)!P, порядок которой является собственным делителем числа т, при помощи группы N/G П N порядка п. По предположению индукции в N/Р содержится подгруппа порядка п, которую можно представить в виде Н/Р для некоторого Н, где Р а Н с= N и [Я : Р] = п. Центр С
176
Гл. IV. Когомология групп
группы Р по теореме 10.2 отличен от 1. При трансформировании элементами из Я cz N группа Р, а следовательно и С, отображаются на себя, так что С и Р — нормальные делители в Я. Значит, Я /С есть расширение р-группы P/С с помощью группы Н/Р порядка п, взаимно простого с р. Поскольку СФ 1, порядок группы Р/С меньше т; по предположению индукции существует подгруппа К./С cz Н/С порядка п. Эта группа К есть расширение абелевой р-группы С при помощи группы К/С порядка п и, значит, расщепляется, так как для абелева случая утверждение уже доказано. Это расщепление выделяет подгруппу La К порядка п, которая расщепляет также исходное расширение В.
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Первая теорема Силова.) Если порядок конечной группы G делится на степень рк простого числа р, то в G имеется подгруппа порядка ph.
2. Если рп — наибольшая степень р, делящая порядок группы G, то каждая максимальная р-подгруппа из G имеет порядок рп.
3. Пусть порядок конечной группы П взаимно прост с порядком конечной абелевой группы А. Показать, что Нп (П, А) = 0 для п > 0 и любой П-модульной структуры в А.
4. Пусть ст: В П — расширение абелевой группы G порядка т с помощью группы П порядка л, причем (я, т) = 1, как в теореме Шура — Цассенхауза. Если S и Т — две подгруппы из В, изоморфно отображающиеся на П при отображении ст, то можно показать, что S и Т сопряжены с помощью элемента из G (использовать равенство Я1 (П, G) = 0).
§ 11. Пространства с операторами
Проиллюстрируем геометрический смысл групп когомологий группы исследованием пространств с операторами.
