Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
(8.6), получим
М/(*> У)] = ф (*) ф (У) Ф {ху)'1 = Iх I/' (*> У)]-
170
Гл. IV. Когомология групп
Из этого равенства следует, что элемент f (х, у) — /' (х, у) лежит в ядре jx, т. е. в центре группы G. Если определить h как h (х, у) = = — f {х, у) + f (х, у), то (8.5) для / и / показывает, что бh = 0, значит, к — коцикл и /* = h + /.
Действие элементов из Я2 на Opext можно также определить в инвариантных терминах, не используя систем факторов. Представим элемент из Я2(П,С) согласно теореме 4.1 как расширение D группы С с помощью группы П с указанными операторами. Пусть С xG — прямое произведение групп С и G. Определим «кодиаго-нальное» отображение V:C xG -*¦ G, положив V (с, g) = с + g', поскольку С — центр G, это отображение — гомоморфизм. Результат действия D на расширение Е из Opext (П, G, if) можно тогда записать как V (D хЕ) Дп. Точно так же, как и в случае сложения Бэра (упражнение 4.7), этот результат определяет расширение G при помощи П с операторами if. Если мы вычислим систему факторов для этого расширения, то увидим, что она, как и выше, определяется отображением / h + /.
§ 9. Реализация препятствий
Мы уже доказали, что препятствием для задачи расширения является элемент из Я3 (П, С). Если С — 0, то препятствий нет, и, следовательно, задача имеет решение, т. е. справедлива
Теорема 9.1. Если аддитивная, неабелева группа G не имеет центра, то любое абстрактное ядро (П, G, ¦ф) имеет расширение.
Полезно иметь прямое доказательство этого простого результата. Поскольку группа G без центра, последовательность G >* >* Aut G Aut G/In G является расширением Е0\ индуцированное расширение Яо'Ф из упражнения 4.1 и дает искомое расширение G с помощью П и с операторами г|з.
В других случаях задача расширения может не иметь решения В силу результатов § 7 бывают случаи (например, если П — конеч ная циклическая группа), когда Я3 (П, С) Ф 0. Изложенная выше теория препятствий дает возможность построить абстрактные ядра, не имеющие расширений, при условии, если мы знаем, что каждый трехмерный коцикл можно реализовать как препятствие. Этот факт, интересный также и потому, что показывает «пригодность» теории когомологий групп для решения проблемы расширения, можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 9.2. Пусть группа П отлична от циклической группы порядка 2, С есть И-модуль и k — произвольный когомологический класс из Я3 (П, С). Тогда существуют группа G с центром С
§ 9. Реализация препятствий
171
и гомоморфизм г|з: П Aut G/In G, индуцирующий заданную П-модульную структуру в С, причем Obs (П, G, iji) = k.
Эта теорема справедлива для всех групп П (см. Эйленберг — Маклейн [1947]); случай, когда П имеет порядок 2, требует особого доказательства.
Доказательство получается путем такого обращения рассмотрений, приведших к определению препятствия, которое позволяет построить «свободное» ядро с данным трехмерным коциклом k в качестве препятствия.
Возьмем G — С xF, где С — данный П-модуль, a F — свободная (неабелева) группа с образующими [х, у], где х, у — произвольные элементы из П, хФ 1, уФ 1. Будем записывать операцию в F и в G как сложение. Определим функцию / из П хП в G id F, положив f (х, 1) = 0 = / (1, у) и / (х, у) = [х, у] для хф\, у Ф 1. Для каждого х 6 П определим эндоморфизм Р (х) : G ->¦ G, положив (5 (х) с = хс (используя модульную структуру в С) и
Р (х) [у, z] = k (х, у, z) + f (х, y) + f(xy, z) f (х, yz) (9.1)
для любого образующего [у, г) группы F. Поскольку функция k нормализована (т. е. k (х, у, 1) = k (х, 1, z) = k (1, у, z) = О, это равенство выполняется также и в том случае, когда элемент [у, z] заменен элементом f {у, z), т. е. когда у или z есть 1. Оно означает, что k = б/ в том же «неабелевом» смысле, что и в определении (8.5') для препятствий.
В силу определения Р (1) — тождественный автоморфизм. Мы утверждаем, что для всех х, у ? П
Р (х) $(У) = Р If (х, У)] Р (х, у) :G-> G. (9.2)
Действительно, при применении обеих частей этого равенства к элементу с из П-модуля С получается одинаковый результат; значит, достаточно доказать, что эндоморфизмы из обеих частей равенства
(9.2) дают одинаковый результат на любом образующем \z,t] группы F. Сначала вычислим Р (х) р (у) [z,t], повторно применяя определение (9.1) один раз к Р (у), а затем три раза к Р (х). Члены, которые являются значениями функции k, лежат в С, а потому в центре G, так что их можно собрать вместе. Они будут содержать все члены из 6k {х, у, z, t), кроме члена —k (ху, z, t). Так как 6k = 0, эти члены можно заменить членом k (ху, z, t). В результате получим
Р (х) Р (У) lz, t] = f(x, y) + k(xy, z, t) + f(xy, z)+f(xyz, t) —
— f(xy, zt)—f(x, y)—f (x, y) + $(xy)[z, t)—f(x, y) =
= 1*lf(x, уШ(ху)[г, t).
Этим равенство (9.2) доказано.
172
Гл. IV. Когомология групп
Мы утверждаем, что каждый эндоморфизм {1 {х) является автоморфизмом в G. В самом деле из (9.2) следует, что (3 (i) (3 (л:-1) = = |д, [/ (х, а:-1)] р (1) = |л [/ (х, л:-1)] — внутренний автоморфизм. Следовательно, ядро {1 (я-1) равно 0, а образ р (х) равен G. Так как элемент х произволен, то мы и получаем наше утверждение.
