Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
L = [xk(y, z, t)\+k{x, yz, t) + k(x, у, z) + U, (8.8) где U — сокращение для выражения
U = f(x, y) + f(xy, z) + f(xyz, t).
При втором способе вычисления произведение автоморфизмов Ф М Ф (у) при первом члене, получающемся при раскрытии скобок в L, можно переписать с помощью (8.6), что дает
L = f(x, */) + Ф (ху) f (г, t) — f(x, г/) + Ф (х) f (у, zt) + f(x, yzt).
168
Гл. IV. Когомология групп
Используя (8.5*) для каждого члена, содержащего <р, и принадлежность всех значений функции k центру, получаем
L = k(xy, z, t) + k(x, у, zt) + U, (8.9)
где U — то же самое, что и выше. Но члены, прибавленные к U в (8.8) и (8.9), являются соответственно положительными и отрицательными членами в 8k (х, у, z, t)\ следовательно, из сравнения
(8.8) и (8.9) вытекает, что 8k = 0, что и требовалось доказать.
Теперь мы исследуем, какое влияние оказывает изменение выбора ср и / на построение препятствий для данного ядра.
Лемма 8.5. При данных ф (х) ? of (х) изменение выбора f в
(8.6) приводит к замене k когомологичным коциклом. При соответствующем. изменении выбора f можно заменить k любым когомологичным коциклом.
Доказательство. Поскольку ядром |х является центр С группы G, при любом другом выборе функция f в (8.6) имеет вид
П*> y) = h(x, y) + f(x, у), h(x, 1) = 0 = Л (1, у), (8.10)
где функция h принимает значения в С и, следовательно, может рассматриваться как двумерный нормализованный коцикл группы П со значениями в С. Теперь определение (8.5') по существу означает, что препятствие k есть кограница k = б/. Препятствие k‘ для f поэтому равно k" = 8 (h + f). Так как значения h лежат в центре, то мы можем написать б (h + f) = (8h) + (6/); значит, новое препятствие имеет указанную в лемме форму. Поскольку h в (8.10) можно выбрать произвольно в С, мы действительно можем заменить k любым когомологичным коциклом.
Лемма 8.6. При изменении выбора автоморфизмов Ф (х) можно так изменить выбор функции f, чтобы препятствие k не изменилось.
Доказательство. Пусть автоморфизмы ф (х) в ^ (х) заменены автоморфизмами ф' (%) 64* (*)> причем ф' (1) = 1. Поскольку ф (х) и ф' (х) лежат в общем классе автоморфизмов, существует такая функция g (я) со значениями в G, что g (1)-= 0 и ф' (х) =
— (х)1 Ф (*)• Используя (8.1) и (8.6), находим, что
ф' (*) ф' (У) = Р [g (X) + ф (х) g (у) 4- f (х, у) — е (ху) 1 ф' (ху).
В качестве новой функции /' (х, у) мы можем выбрать выражение, стоящее в скобках. Запишем это определение так:
f'(x, y) + g(xy) = g(x) + <p(x)g(y) + f(x, у). (8.11)
Это определение имеет вид /' = (бg) + /, так что мы должны были бы иметь б/' = (88g) + б/ = б/, если пренебречь затруднениями
§ 8. Препятствия для расширений
16$
с некоммутативностью сложения. Если действительно последовательно преобразовать выражение ср' (я) /' (у, z) + f (х, yz) + + g (xyz) с помощью (8.11) и (8.6), то получим выражение k (х, у, z) + f (х, у) + /' (ху, z) + g (xyz), которое показывает, что препятствие k осталось прежним.
Эти результаты можно суммировать в виде следующей теоремы.
Теорема 8.7. Для любого абстрактного ядра (П, G, гр) представим центр С группы G как П-модуль с операторами хс — = ф (к) с при некотором выборе автоморфизмов ф (х) ? (я). Сопо-
ставление этому ядру класса когомологий любого из его препятствий дает корректно определенный элемент Obs (П, G, ijj) (Е Н3 (П, С). Ядро (П, G, г|з) имеет расширение тогда и только тогда, когда Obs (П, G, г|з) = 0.
Действительно, если класс когомологий препятствия k равен нулю, то любое препятствие k имеет вид k — 8ft. По лемме 8.5 существует возможность выбрать функцию /' вместо / так, чтобы препятствие стало равным нулю тождественно; взяв эту функцию в качестве системы факторов, можно построить расширение как скрещенное произведение [G, ф, /', П].
Для окончания изучения проблемы расширений мы установим ледующий результат о множестве расширений.
Теорема 8.8. Если абстрактное ядро (П, G, г|з) имеет расширение, то множество конгруэнтных классов расширений находится во взаимно однозначном соответствии с множеством Я2 (П, С), где С — центр группы G, рассматриваемый как П-модуль с П-лю-дульной структурой, описанной в теореме 8.7.
В действительности мы докажем больше. Группа Я2 (П, С) действует как группа преобразований на множестве Opext (П, G,if), причем это действие просто транзитивно, т. е. таково, что из любого расширения Е0 мы получим все конгруэнтные классы расширений (каждый класс по одному разу) с помощью элементов из Я2 (П, С).
Доказательство. Запишем любое расширение-Е 6 Opext (П, G, 1|з) как скрещенное произведение [G, ф, /, П]. Зафиксируем ф. Представим каждый элемент из Я2 (П, С) системой факторов (двумерным коциклом) Л. Требуемая операция есть сопоставление [G, ф, /, П]-> [G, ф, ft +/, П]. Сформулированные свойства этой операции вытекают сразу. В частности, чтобы показать, что любое расширение Е" можно получить таким способом из Е, запишем Е в виде скрещенного произведения [G, ф, Щ с той же функцией ф, использовав лемму 8.2. Два раза применив
