Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Из закона ассоциативности для и (х) + и (у) + и (z) вытекает, что
[ф (x)f(y, z)] + f(x, yz) = f(x, y) + f(xy, z). (8.5)
Если бы группа G, содержащая значения функции /, была абелевой, то это тождество означало бы, что 6/ = 0. Следовательно, сопряжение отдельно левой и отдельно правой частями равенства (8.4) должно давать один и тот же автоморфизм в G, поэтому должно иметь место равенство
Ф (*) Ф (У) = t4 (f (*> У)]Ч(ХУ)> (8-6)
в котором утверждается, что ц/ измеряет степень отклонения ф от гомоморфизма ф: П Aut G.
Обратно, эти условия могут быть использованы для построения расширения, как показывает следующая лемма.
Лемма 8.1. Пусть даны группы П, G и функции ф из П в Aut G и f — из ПхП в G, которые удовлетворяют равенствам
(8.5) и (8.6) и условиям нормализованности ф (1) = 1, / (х, 1) = = 0 = / (1, у). Тогда множество В0 (G, ф, /, П) всех пар (g, х) является группой относительно операции, определенной формулой
(g, x) + (gu y) = (g + <f>(x)gi + f(x, у), ху). (8.7)
166
Гл. IV. Когомология групп
Гомоморфизмы g -*¦ (g, 1) и (g,x)-*-x задают расширение G >-» >¦* В о -»П группы G с помощью П, причем класс сопряжения этого расширения определяется классом автоморфизмов, порожденным функцией ф.
Доказательство. Обычное вычисление показывает, что из (8.5) и (8.6) следует закон ассоциативности. В силу условия нормализованное™ пара (0, 1) — нуль, а (—/ (лг1, х) — ф (*~х)?, х_1) являeтcяJ противоположным элементом для элемента (g, х).
Мы назовем группу В0 = [G, ф, /, П], построенную указанным способом, скрещенным произведением групп, а построенное расширение — расширением скрещенного произведения. Проведенный перед последней леммой анализ показывает, что любое расширение изоморфно подобному скрещенному произведению в следующем точном смысле.
Лемма 8.2. Если ф (1) = 1 для ф (х) 6 ^ (*), то любое расширение Е абстрактного ядра (П, G, \}з) конгруэнтно расширению скрещенного произведения [G, ф, /, П] с данной функцией ф.
Доказательство. В данном расширении Е представители и (х) можно выбрать так, чтобы автоморфизм g->- и (х) + g —
— и (х) принадлежал классу автоморфизмов -ф (х). Произведем этот выбор так, чтобы этот автоморфизм был ф (х). Тогда каждый элемент из В имеет единственное представление в виде g + и (х), а правила сложения (8.3) и (8.4) определяют сумму двух элементов так, что при соответствии g + и (х) (g, х) она переходит в соответст-
вующую сумму в скрещенном произведении (8.7). Это соответствие есть конгруэнтность. Поэтому лемма доказана.
Теперь предположим, что задано только абстрактное ядро (П, G, г|з). В каждом классе автоморфизмов г|з (х) выберем автоморфизм ф (х), положив на всякий случай ф (1) = 1. Поскольку я]) — гомоморфизм в Aut G/In G, автоморфизм ф (я) ф (г/) ф (ху)-1 является внутренним. Для каждой пары элементов х, у 6 П выберем элемент f (х, у) из G, порождающий этот внутренний автоморфизм, в частности, положим f (х, 1) = 0 = f (1, у)-, тогда ф (х) ф (у) = = (х [/ (х, у)] ф (х, у), т. е. выполняется равенство (8.6). Мы хотели бы, чтобы выполнялось равенство (8.5), однако это не всегда имеет место. Закон ассоциативности для ф (л:) ф (у) ф (z) показывает только, что (8.5) выполняется после применения (х к обеим частям. Ядро [х — это центр С группы G; следовательно, существует для всех х, у, z такой элемент k (х, у, z) ? С, что
[ф (x)f(y, z)] + f(x, yz) = k(x, у, z) + f(x, y) + f(xy, z). (8.5')
§ 8. Препятствия для расширений
167
Очевидно, что k (1, у, z) = k (х, 1, z) — п (х, у, 1) = 0, так что эту функцию k можно рассматривать как нормализованную трехмерную коцепь группы П с коэффициентами в G.
Абелева группа С = центр(G) может рассматриваться как П-модуль, так как каждый автоморфизм ср (я) группы G переводит С в С и индуцирует автоморфизм с <р (х) с, для с 6 С, который не зависит от выбора ср (я) в классе г|з (х). Поэтому мы можем писать хс вместо ср (х) с.
Мы называем коцепь k из (8.5') препятствием для абстрактного ядра (П, G, if). Существуют разные препятствия для данного ядра, зависящие от выбора ф (я) ? г|з (я) и функции /, удовлетворяющей
(8.6). Однако если существует расширение Е, то, как уже показано нами в (8.5), имеется препятствие k = 0. Значит, доказана
JT е м-м а 8.3. Абстрактное ядро (П, G, г|з) имеет расширение тогда и только тогда, когда одно из его препятствий есть коцепь, тождественно равная нулю.
Теперь мы докажем следующую лемму.
Лемма 8.4. Любое препятствие k ядра (П, G, if) является неоднородным трехмерным коциклом в В (Z (П)).
Мы должны доказать, что 8k = 0. Это утверждение правдоподобно, так как в случае абелевости группы G и гомоморфности <р определение (8.5') для k выглядело бы как k = б/, следовательно, 8k = 88/ = 0. Значит, нужно показать, что 66 по-прежнему есть 0 и в неабелевом случае. Точнее вычислим двумя способами выражение
L = q>(x) [<р (у) f (z, t) + f(y, zt)] + f(x, yzt)
для x, у, г, t 6 П. При первом способе применим (8.5') к внутренним членам, начинающимся с <р (у) f (z,t)\ после применения гомоморфизма ф (х) к результату появляются члены <р (я) / (у, z) и ф (х) f (yz, t), к каждому из которых снова применяем (8.5'). Если теперь члены k из центра поставить в начале, то наш результат принимает вид
