Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 67

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 227 >> Следующая

Теперь рассмотрим точную последовательность (2.4) Z (/^-модулей
О /(F) Л Z{F) Л Z -+ 0 (7.3)
вместе со скрещенным гомоморфизмом р из F в / (F), заданным равенством рх = х — 1. По предложению 2.3 скрещенные гомоморфизмы F в А взаимно однозначно соответствуют модульным гомоморфизмам Л: / (F)—*• А; действительно, каждый гомоморфизм h определяет / = hp. В частности, fe% = hpet = h (et — 1). Следовательно, доказанная выше лемма утверждает, что гомоморфизм h определяется своими значениями на элементах et — 1 ? I (F). Это значит, что / (F) — свободный F-модуль с образующими et — 1. Поэтому последовательность (7.3) является свободной резольвентой тривиального F-модуля Z и, следовательно, может быть использована для вычисления групп когомологий группы F. Поскольку эта резольвента равна нулю в размерностях, больших 1, мы получаем следующий результат:
Теорема 7.3. Дм свободной группы F, Hn(F,A) = 0 при п > 1,
УПРАЖНЕНИЯ
1. Описать Н1 (F,A) для свободной группы F.
2. Доказать, что I (F) — свободный модуль без использования скрещенных гомоморфизмов.
3. Найти резольвенту для Z как тривиального модуля над свободной абелевой группой П с двумя образующими и вычислить группы когомологий группы П.
11*
164
Гл. IV. Когомология групп
4. Определить произведение Ионеды для групп когомологий Hk (Cm,Z), установив, что
JV* D* 8
S2n : 0 —> Z —* Г —> Г —>---------- Г —> Z —> О
— точная последовательность с 2л промежуточными членами Г и отображениями, являющимися чередующимися умножениями на N и D, что для я > 0 в Нот2" (Ст, Z) = Ext2n (Z, Z) = ZimZ имеется аддитивный образующий порядка т, определяемый классом конгруэнтности последовательности S2n, и что произведение S2nS2k = Si(n+hK
5. Если ?0 — точная последовательность Z >-> Z -» Ст, в которой отображение Z -*¦ Z есть умножение на т, то показать, что характеристический класс X {Ей) в смысле § 6 является последовательностью S2 из упражнения 4. Вывести отсюда, что Opext (Cm, Z) есть циклическая группа порядка т, порожденная расширением ?0.
6. Пусть ?: Ст С* — гомоморфизм циклических групп. Для тривиального П-модуля А из теоремы 7.1 вычислить индуцированное отображение ?* групп когомологий.
§ 8. Препятствия для расширений
Трехмерные группы когомологий появляются при изучении расширений неабелевой группы G. Мы будем записывать операцию в G как сложение, хотя группа G неабелева.
Для любого элемента h из G обозначим через |х (Л) или |Лд внутренний автоморфизм |Лд? = h -f- g — Л, т. e. трансформирование элементом Л. Отображение p: G -> Aut G является гомоморфизмом аддитивной группы G в мультипликативную группу Aut G всех автоморфизмов G; образ pG — это группа In G внутренних автоморфизмов группы G. Этот образ является нормальным делителем в Aut G, так как если т] 6 Aut G, то всегда
Л 0*л?) = *1 (А + 5 — А) = r\h + r\g — r\h = цчЛ (т)?>
и, значит,
'ПМ'Л'П”1 = M'ti/i, (Ад —трансформирование элементом Л. (8.1)
Факторгруппа AutG/InG называется группой классов автоморфизмов или внешних автоморфизмов группы G; она является коядром гомоморфизма р, : G —> Aut G. Ядро р называется центром С группы G; центр состоит из всех таких элементов с ? G, что с + g = g + с для любого g в G. Значит, последовательность
О -> С -» G Л AutG -> AutG/InG -> 1 (8.2)
точна.
Произвольное групповое расширение
Е:0 G Л В ЛП 1
группы G с помощью группы П определяет путем трансформирования в аддитивной группе В гомоморфизм 0:В—э- Aut G, для которого
§ 8. Препятствия для расширений
165
0 (xG) cz In G. Значит, определяется индуцированный гомоморфизм if: П -»»Aut G/In G. Другими словами, для каждого элемента
6 6 В автоморфизм g Ъ + g — b группы G содержится в классе автоморфизмов if (ab). Мы будем говорить, что расширение Е имеет класс сопряжения if; таким образом, if указывает способ вложения G в качестве нормального делителя в группу В. Обратно, назовем пару групп П, G и гомоморфизм if: П Aut G/In G абстрактным ядром. Общая задача теории расширений групп состоит в построении всех расширений Е с данным абстрактным ядром (П, G, if), т. е. в построении всех коротких точных последовательностей Е с данными концами G и П и данным классом сопряжения if. Как и в § 3, конгруэнтные расширения имеют общий класс сопряжения.
Заданное расширение Е можно описать следующим образом. Отождествим каждый элемент g в G с элементом xg 6 В. Выберем для каждого х 6 П представитель и (х) 6 В, аи (х) — х, причем и (1) = 0. Тогда сопряжение элементом и (х) порождает автоморфизм ф (х) ? if (*) группы G:
«(*) + ?= [<p(*)gl +и (*), х?П, g?G. (8.3)
Сумма и (х) + и (у) равна и (ху) с точностью до слагаемого из G, который мы можем обозначить как f (х, у) EG,
u(x) + u(y) = f(x, у) + и(ху), х, у?П. (8.4)
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed