Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
es_!= 1, d50 + s_ie=l, dsn -f s„_id = 1, (n> 0). (5.5)
Каждое из этих равенств вытекает немедленно из определений; в силу (5.3), например, д^ (х [xt j . . . | х„]) начинается с члена л: [л:! |... | лсп. ], в то время как остальные члены совпадают с членами из Sn-jd* [xi |. . . |Xn], но с измененным знаком; этим дока'
154
Гл. IV. Когомология групп
зано последнее из равенств (5.5). Более того, эти равенства рекурсией по п однозначно определяют и е, и d„+i : Вп+1 -> Вп, так как Вп+j порождается как П-модуль подгруппой snBn, а равенства (5.5) определяют дп+1 на этой подгруппе: dn+lSn = 1 —^,-А, значит, формула (5.3) может быть выведена из формул (5.5) и (5.2) для s. То же самое рекурсивное соотношение устанавливает, что edt = О и dndn+i — 0, поскольку
дпдп+iSn = дп (1 Sn-idn)= дп — (dnsn-1) дп —
— дп — дпsn-tf)n-idn,
откуда д2 = 0 по индукции. Это же можно доказать непосредственно, но более трудоемко с помощью формулы (5.3) для д. Любым способом доказывается, что В (Z (П)) — комплекс и резольвента Z, что и утверждалось в теореме.
Эта же теорема справедлива для «ненормализованной» В-резоль-венты р (Z (П)). В качестве здесь берется свободный П-модуль, порожденный всеми наборами xt ® . . . ® хп из п элементов группы П (без условия нормализованное™),' а е, s и д задаются теми же формулами, что и в В. Значит, Вп ^ Р„/Д». где Dn — подмодуль, порожденный всеми элементами xt ® . . . <g> хп с хотя бы одним xt = 1. Символ 0 используется здесь потому, что указанное описание превращает в (п + 1)-кратное «тензорное произведение» Z (П) ® . . . ® Z (П) абелевых групп Z (П); эти тензорные произведения определяются в гл. V и применяются при изучении В-резольвенты в гл. IX.
Для любого П-модуля А мы определим группы когомологий П с коэффициентами в А формулой
Я” (П, А) = Нп (В (Z (П)), А), (5.6)
в согласии с частными случаями, рассмотренными в предыдущем параграфе (где индекс ф использовался для явного описания структуры А как П-модуля). Значит, группы когомологий Я" (П, А) совпадают с группами когомологий коцепного комплекса В (П, А) = = Нотп (В (Z (П)), А), где Нотп — сокращение для Homz(m. Поскольку Вп — свободный модуль с образующими lxt | . . . | хп1, (xt^l), п-мерная коцепь f:Bn->-A—это П-модульный гомоморфизм, который однозначно определяется своими значениями на этих образующих. Следовательно, группа Вп (П, А) из л-мерных коцепей может быть отождествлена с множеством всех таких функций f от п аргументов xt из П со значениями в А, которые удовлетворяют условию «нормализованное™»
/ (^1» 1, • * *, Хп) — 0, j — 1 f • • • 9 п* (5.7)
§ 5. В-реэольвента
155
Сумма двух коцепей Д и /2 определяется суммированием значений:
(/l "Ь fz) 0^1» • • ¦» Хп) — f\ (Xi, . . . | Хп) -f /2 (JCi, • . •»-?n),
относительно этого сложения множество Вп всех таких функций / является абелевой группой. Кограничный гомоморфизм б: Вп-*-Вп'1 определяется формулой
&f (*1, . • •, xn+i) = (— 1 )"+I [Xif (x2,..., *n+1) +
(5.8)
П
+ 2 (—1)V(*1. ¦¦¦¦,XtXt+i, . . .,*n+i) + ( — l)n+1f(Xi, ...,xn)],
i=i
и Я" (П, Л) есть n-я группа когомологий этого комплекса.
Как функтор, Я” (П, Л) контравариантен по аргументу (П, Л,ф): если р = (?, а) — замена групп (2.6), то индуцированное отображение р* : Я” (ГГ,Л') -> Я”(П,Л) определяется для любого ? 6 В'п равенством
(Р*П (*i> • • • - *n) = a If' (&и ..., ?*„)],
?:П-*П', а : А! А. (5.9)
В частности, при П — фиксированной группе Я” (П, Л) — кова-риантный функтор в категории П-модулей Л.
Следствие 5.2. Для любого П-модуля А существует изоморфизм
0:ExtS(n)(Z, Л)^Я"(П, Л),
естественный по аргументу А.
Поскольку В — свободная резольвента тривиального П-модуля Z, этот результат непосредственно вытекает из теоремы II 1.6.4; он показывает, что группы когомологий групп являются частным случаем функтора ExtB, где R — групповое кольцо.
Для короткой точной последовательности Е : А » В -» С П-модулей следствие 5.2 и обычная точная последовательность для Ext устанавливают существование точной последовательности
---->Нп(П, А)-> Нп (П, В) -> Яп (П, С) ^ Я№+1 (П, Л)—
Связывающие гомоморфизмы Е* естественны по Е. При фиксированной группе П группы когомологий Я" (П, Л) являются ковариантными функторами по аргументу Л, которые могут быть охарактеризованы вместе со связывающими гомоморфизмами тремя аксиомами, аналогичными аксиомам для Ext (III.10): при-
156
Гл. IV. Когомология групп
веденная выше последовательность точна, Н° (П,А) Аи и Я” (П, J) = 0, если п > 0, a J — инъективный П-модуль.
Для конечной группы П кограничная формула устанавливает любопытный результат.
Предложение 5.3. Если П — конечная группа порядка k, то каждый элемент группы Я” (П, А) при п > 0 имеет порядок, делящий k.
Доказательство. Для любой л-мерной коцепи f определим (п—1)-коцепь g посредством формулы
