Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 62

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 227 >> Следующая

д[х, у, z]~x[у, z] — [xy, г] + [*. г/г] — [х, у]. (4.8)
Условие коцикличности f(fd = 0) совпадает с тождеством (4.5). Наконец, возьмем в качестве Xi свободный модуль, порожденный всеми 1х] с хф 1, и. положим [1] = 0. Одномерная коцепь — это модульный гомоморфизм Х4 -> Л, который определяется своими значениями на 1х], так что в действительности является функцией g из П в А, причем g (1) = 0. Если мы теперь определим д: Х2 —>¦ Х± формулой
dl*. у]=х[у] — [ху] + [х], (4.9)
то дд — 0, а кограницей для g служит функция, удовлетворяющая тождеству (4.6). Значит, Н\ (П, Л) совпадает с Я2 (Homz(n) (X, Л)). Мы получим аналогичный результат для Щ, если в качестве Х0 возьмем Z (П) и положим д [х\ — х — 1 ? Z (П).
Этот комплекс определяет также нульмерную группу когомологий Яф (П, А) = Н° (Homz(n) (X, Л)). Нульмерная коцепь — это модульный гомоморфизм f : Z (П) ->-Л, который определяется своим значением /(1) = а 6 Л. Он является коциклом, если эле-
152
Гл. IV. Когомология групп
мент — (6/) fjcl = fd [х] — f (х — 1) = ха — а равен нулю. Следовательно, нульмерные коциклы соответствуют элементам а ? А, инвариантным относительно П (ха = а для всех я):
Яф(П, А) = ЛП, /Р = [а\ха = а для *?П]. (4.10)
УПРАЖНЕНИЯ
Сложение Бэра, введенное в гл. III для расширений модулей, может быть применено также для расширений групп, как показывает следующая последовательность упражнений.
1. Доказать: если ? — расширение группы G с помощью группы П н у •' П' -*¦ П, то существует расширение ?' группы G с П' и морфизм Г = (1 g. P. Y):?'-*¦ Е. Пара (Г, Е') определена с точностью до конгруэнтности для Е'. Если G — абелева группа с операторами q>: П -*¦ Aut G, то Е' имеет операторы q>y. Положить Еу = Е'.
2. В условиях упражнения 1 показать, что каждый морфизм (°i* Pi> Yi): Ei -*¦ Е расширений с Yi = Y «проходит» единственным образом через Г.
3. Пуст% Е 6 Opext (П, A, q>), ф' : П Aut А' и а : А -*¦ А' есть П-модульный гомоморфизм. Доказать, что существует едивственное с точностью до конгруэнтности Е' расширение Е' 6 Opext (П, А', ф') и морфизм в = = (а, Р, 1п): Е Е'. Положить аЕ равным ?'.
4. При предположениях упражнения 3 доказать, что каждый морфизм (“1. Pi. Yi) : Е -*¦ Ev где ?4 6 Opext (Щ, А', ф^), а4 = а н ф^ = ф', «проходит» единственным способом через 0.
5. Пусть относительно а, Y и ? сделаны те же предположения, что и в упражнениях 1 и 3, и пусть G = А — абелева группа. Доказать, что расширение a (?у) конгруэнтно расширению (а?) Y-
6. Используя упражнения 1, 3 и 5, показать, что Opext является кон-травариантным функтором в категории замен групп.
7. Показать, что множество Opext (П, А, ф) является абелевой группой
относительно сложения Бэра, определенного формулой Et + ?2 = = (?4 х ?2) Лп- н показать, что это Определение согласуется с опре-
делением, данным с помощью систем факторов.
§ 5. ^-резольвента
Формулы (4.8) и (4.9) для взятия границы в комплексе X предыдущего параграфа могут быть обобщены на более высокие размерности. Именно, для любой группы П мы построим некоторый цепной комплекс П-модулей Вп (Z (П)). Возьмем в качестве Вп свободный П-модуль, образующими которого являются последовательности Ui | . . . | ] из п элементов х±Ф\, . . хпф I
группы П. Результатом действия элемента х 6 П на образующий является элемент х lxi\. . . |jc„] из Вп, так что Вп есть свободная абелева группа, порожденная элементами вида х [xi\ . . .| хп].
§ 5. В-резольвента
153
Чтобы придать смысл каждому символу | . . . |лг„], положим [*i| ... |дгп] = 0, если хотя бы один элемент дс* = 1; (5.1)
это есть условие нормализованности. В частности, В0 — это свободный модуль, порожденный одним символом [ 1 и поэтому изоморфный Z (П), а отображение е [ ] = 1 определяет П-модульный
гомоморфизм е : В0-+-Z, где Z — тривиальный П-модуль.
Гомоморфизмы s-!: Z-------*-В0, sn: Вп----*~Bn+i абелевых групп
определяются формулами
s-jl = [ ], Sn,x[JCj | ... | JCn]==i [jc | | ... | xn], (5.2)
Определим П-модульный гомоморфизм d:Bn-+-Bn-i при n>0:
d[xt\ ... | xn\ = х, [x21 ... | xn] +
+ S(— l)4[ati| ... \ XiXi+i \ ... |л:п] + (—l)n[JCi|... |jcn-i]; i—1
в частности, д lx] = x I ] — [ ], d [x\y] = x ly] — [xy] +
4- 1х]. Отметим, что формула (5.3) справедлива и тогда, когда некоторые xt = 1, поскольку члены (t — 1) и i в правой части уничтожаются, а остальные члены равны нулю. Суммируя сказанное, мы получаем диаграмму
е э а
Z В0 В1 Bn_i Вп ..., (5.4)
S-1 80
в которой сплошные стрелки означают модульные гомоморфизмы, а пунктирные — групповые гомоморфизмы. Назовем В = В (Z (П)) В-резольвентой.
Теорема 5.1. Для любой группы П В-резольвента В (Z (П)) с пополнением е является свободной резольвентой тривиального П-модуля Z.
Доказательство. Модули Вп свободны по построению, поэтому мы должны доказать, что последовательность гомоморфизмов, отмеченных сплошными стрелками в (5.4), с присоединенным слева нулем, точна. Мы докажем больше: эта последовательность является комплексом абелевых групп со стягивающей гомото-пией s. Последнее утверждение означает, что
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed