Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку и (1) = 0, мы получаем, что
f(x,l) = 0 = f(l,y), х, у?П. (4.3)
Функция f называется системой факторов расширения Е. При данной системе факторов и при заданной тройке (П, А, <р) сложение в В любых двух элементов а + и (х) и а4 + и (у) производится на основании формул (4.1) и (4.2):
[а + и (*)] + [fli + и (у)] = (a + xai + f (х,у)) + и (ху). (4.4)
По этому правилу запишем суммы трех слагаемых:
[u(x) + u(y)] + u(z) = f(x, y) + f(xy, z) + u(xyz),
u(x) + [u(y) + u(z)] = xf(y, z) + f(x, yz) + u(xyz).
Из равенства этих сумм (закон ассоциативности!) следует
xf (у, z) + f(x, yz) = f(x, y) + f(xy, z), x, у, zgn. (4.5)
Система факторов f расширения зависит от выбора представителей; если и' (х) — второе множество представителей, причем и' (1) = 0, то и' (х) и и (х) лежат в общем смежном классе, поэтому существует функция g из П в А, для которой g (1) = 0 и и' (л:) = = g(x) + и (х). Тогда и' (х) + и’ (у) = g (х) + xg (у) + и (х) + + и (у) = g (х) + xg (у) + / (л:, у) + и (ху). Новой системой факторов будет ? (лг, у) = 6g (л:, у) + f (х, у), где 6g обозначает функцию
Фё)(х, y) = xg(y)-g(xy)+g(x), х, у?П. (4.6)
Можно проверить, что функция бg удовлетворяет тождеству (4.5), если / заменить на 6g.
Эти рассмотрения подсказывают следующие определения. Пусть Z% (П, А) обозначает множество всех функций / из ПхП в А, которые удовлетворяют тождеству (4.5) и условию нормализованное™ (4.3). Это множество является абелевой группой относительно
150
Гл. IV. Когомология групп
обычного сложения функций (f + /') (х, у) — f (х, у) + F (х, у). Пусть В% (П, А) обозначает подмножество из Z%, состоящее из всех функций / вида / = bg, где функция 6g определяется форму-лой (4.6) для любой такой функции g из П в А, что g (1) = 0. Факторгруппа
Н% (П, А) =1% (П,Л)/?ф (П, А)
называется второй группой когомологий группы П над А. Наше исследование приводит к следующей теореме.
Теорема 4.1. Пусть ср : П Aut А — гомоморфизм группы П в группу автоморфизмов абелевой группы А. Отображение <о, которое сопоставляет каждому расширению А при помощи П с операторами ф смежный класс одной из его систем факторов, устанавливает взаимно однозначное соответсгйвие
<о: Opext (П, А, ф)<-»Яф(П, А) (4.7)
между множеством Opext всех классов конгруэнтности таких расширений и второй группой когомологий. При этом соответствии полупрямое произведение переходит в нулевой элемент из Н\.
Поскольку Яф — абелева группа, это соответствие определяет групповую структуру в Opext. Эта групповая структура может быть описана также с точки зрения бэровского сложения, что отмечено в приведенных ниже упражнениях.
Доказательство. Поскольку системы факторов одного и того же расширения совпадают по модулю подгруппы В% и поскольку конгруэнтные расширения имеют общие системы факторов, отображение со определено корректно. Полупрямое произведение А х ФП имеет, очевидно, тривиальную функцию f (х, у) = 0 в качестве одной из своих систем факторов. Если два расширения порождают системы факторов, разность которых равна некоторой функции 6g (х, у), то изменением представителей в одном из расширений можно добиться совпадения систем факторов и, значит, расширения конгруэнтны. Следовательно, отображение (4.7) устанавливает взаимно однозначное соответствие множества Opext с подмножеством Я2. Наконец, пусть дана функция f, удовлетворяющая (4.5) и (4.3). Тогда можно построить группу В, взяв в качестве ее элементов все пары (а, х) и определив сложение, как в (4.4):
(a, x) + (ai, y) = (a + xai + f(x, у), ху), а, а^А.
Правила действия модульных операторов и условие. (4.5) показывают, что сложение ассоциативно; тем самым оказывается построен-
§ 4. Системы факторов
151
ным расширение с представителями и (х) = (0, я) и системой факторов /. Этим заканчивается доказательство теоремы.
Если группа А абелева, то расширение Е из (3.1) А с помощью П называется центральным групповым расширением, если ¦лА лежит в центре В. Другими словами, центральное расширение — это расширение с операторами ф = 1. В доказанной теореме поэтому содержится тот факт, что множество классов конгруэнтности центральных расширений А с помощью П находится во взаимно однозначном соответствии с группой Я2 (П, А), где абелева группа А берется с тривиальными операторами ф. Если группа П — абелева, то каждое абелево расширение центрально, так что существует мономорфизм ЕхЩП, Л) Я2 (П, Л).
Мы можем рассматривать группы когомологий Я| и Н% как группы когомологий подходящего комплекса
X0*-Xi*-Xz«-X3
свободных П-модулей. Возьмем в качестве Х2 свободный П-модуль, порожденный всеми парами [х, у] элементов хФ 1, уФ 1 из П. Чтобы определить элемент [х, у] 6 Х2 для всех х, у ? И, положим также [1, у] — 0 = [х, 1 ] и II, 13 = 0. Двумерная коцепь из Homn (X, А)— это П-гомоморфизм / : Х2-^А; он определяется своими значениями f [х, у] на свободных образующих модуля Х2, следовательно, в действительности это просто такая функция из П х П в Л, что f{x, 1) = 0 = / (1, у). Теперь в качестве Х3 возьмем свободный П-модуль, порожденный всеми тройками 1х, у, z] элементов из П, отличных от 1, а д: Х3 Х2 зададим формулой
