Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Обозначения при помощи стрелок
Если X и Y — два множества, то прямым (декартовым) произведением X ХУ называется множество всех упорядоченных пар (х, у), где * 6 X и у 6 Y.
Символ / : X -*¦ Y означает, что f является функцией, определенной на множестве X со значениями в множестве Y. Формально такая функция может быть описана упорядоченной тройкой f = (X, F, У), где F — подмножество множества X X Y, содержащее для каждого х ? X только одну пару (х, у). Действительно, мы, как правило, записываем как f (х) = у значение функции f от аргумента х. Отметим, что мы пишем функцию слева от аргумента, т. е. / (х). Заметим также, что каждая функция f связана с определенным множеством X как областью определения и определенным множеством Y как областью значений.
Если даны две функции /: X -v Y и g: Y -*¦ Z, то произведением gf, иногда записываемым в виде go f, считается функция из X в Z, определенная равенством (gf) (х) — g (f (*)) для каждого х 6 X, Поскольку функции записываются слева от аргумента, gf означает, что сначала применяется функция f, а потом функция g. Произведение gf определено только в том случае, когда область значений функции / совпадает с областью определения функции g. В частности, умножение не определено в том случае, когда область значений f есть собственное подмножество области определения g.
2*
20
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
Для произвольного множества X тождественным отображением (I или 1Х) является такая функция 1: X X, что 1 (х) = х для любого х в X. Если S — подмножество множества X, то функция / : S X со значениями / (s) = s для каждого s ? S называется («тождественным») вложением S в X. Для произвольной функции / : X Y произведение fj:S-*-Y (записываемое иногда как f \ S) ¦есть «ограничение» f на подмножество S множества X. Аналогично, •если Y — подмножество множества W и k: Y -*¦ W есть вложение (k (у) = у), то произведение kf : X -> W является той же самой функцией /, область значений которой Y расширена до множества W. Заметим, что функции f и kf имеют одинаковые значения для каждого значения аргумента х, но тем не менее считаются разными функциями, поскольку у них разные области значений. Это различие, кажущееся излишне педантичным, позднее окупится (см. пример 2 из II.1).
В дальнейшем используются обычные обозначения теории множеств: X П Y обозначает пересечение множеств X и У, а 0 обозначает пустое множество.
§ 2. Модули
Пусть R — кольцо с единицей 1 ф 0. Левым R-модулем называется аддитивно записанная абелева группа А вместе с определенной функцией р : R X А -> А, записываемой в виде р (г, а) = га, удовлетворяющей для всех г, г" ? R и а, а" 6 А следующим соотношениям:
(r + r') а = га + г'а, (гг') а —г (г'а), r(a + a') = ra + ra', 1 а = а.
Из этих соотношений вытекает, что 0а = 0 и (—1) а = —а. Некоторые авторы, определяя ^-модуль, не требуют выполнения соотношения 1а = а и называют модули, для которых 1 а = а, унитарными. В этой книге всегда будет предполагаться, что кольцо имеет единицу и что модули унитарны.
Наши рассмотрения левых /^-модулей будут mutatis mutandis применимы к правым R-модулям, которые являются абелевыми группами А с аг 6 А, причем выполнены соответствующие четыре тождества, например а (гг") = (аг) г\
Модули встречаются очень часто. В том случае, когда R есть поле или тело, левый ^-модуль является левым векторным пространством над R. Если F — поле, a R = F [х]— кольцо многочленов от одного неизвестного х с коэффициентами из F, то ^-модуль <есть просто векторное пространство V над F, в котором зафиксировано линейное преобразование Т : V -*¦ V; именно, Т — это пре-
§ 2. Модули
21
образование, которое задается умножением слева элементов пространства на элемент х ? R- Рассмотрим также Z-модули, где Z — кольцо целых чисел. Для каждого положительного т, та —
— а + ... + а (т раз); значит, Z-модуль А есть просто абелева группа с обычным пониманием целых кратных та, т 6 Z. Если Zk — кольцо вычетов по модулю k, то Zft-модуль А является абелевой группой, в которой порядок каждого элемента делит k. Наконец, пусть R — коммутативное кольцо, порожденное единицей и таким элементом d, что d2 = 0, т. е. R состоит из всех пар вида т + nd с целыми коэффициентами тип; тогда ^-модуль является абелевой группой А, в которой зафиксирован такой эндоморфизм d: А -*• А, что d? = 0. Пара (A, d) называется «дифференциальной группой» (II.1).
Подмножество S R-модуля А называется подмодулем (обозначается S с: А), если S — подгруппа группы А и если из г 6 R, s ? S следует, что rs 6 S. В этом случае S может рассматриваться как R-модуль. Кольцо R само является левым ^-модулем. Подмодуль модуля R •— это подмножество L, замкнутое относительно сложения и выдерживающее умножение слева на все элементы кольца R, т. е. rL a L для всех г ? R. Такое подмножество называется также левым идеалом кольца R. Если L — левый идеал в R и А — левый R-моду ль, то множество
