Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Качественные рассмотрения относятся к вопросу о минимальной длине проективной резольвенты ^-модуля А. Если существует проективная резольвента для А, заканчивающаяся на Рп+1 = О, то говорят, что А имеет гомологическую размерность, не превосходящую п. Эти размерности входят в арифметическую структуру кольца R; например, если R есть кольцо Z целых чисел, то каждый модуль имеет размерность, не большую 1; как пример отметим еще, что теорема Гильберта о сизигиях (гл. VII) относится к размерностям градуированных модулей над кольцом многочленов.
Две точные последовательности 0->-А->-Б->-С->-0 и О-vC-vD-vp-vO можно «склеить» в С и получить длинную точную последовательность
0-> А-^В--------->0;
другими словами, элемент из Ext1 (С, А) и элемент из Ext1 (F, С) определяют двукратное расширение, которое является элементом из Ext2 (F,A), называемым их произведением (гл. III). Эти и аналогичные произведения для Тог могут быть вычислены с помощью резольвент (гл. VIII).
Каждый ^-модуль есть также абелева группа, т. е. модуль над кольцом Z целых чисел. Назовем расширение Е : А -»- В -+¦ С ^-модулей Z-расщепляющимся, если средний модуль В как абелева группа разлагается в прямую сумму А и С. Построим группу Ext(H, z) (С А), используя только такие Z-расщепляющиеся расширения. Этот функтор имеет связывающие гомоморфизмы Е*у определенные для Z-расщепляющихся последовательностей Е.
Введение
15
Вместе с соответствующими периодическими умножениями и их связывающими гомоморфизмами эти функторы составляют предмет изучения относительной гомологической алгебры (гл. IX). Когомология группы — это пример такого относительного функтора. Точно так же, если Л есть алгебра над коммутативным кольцом К, то все соответствующие понятия относительны по отношению к К; в частности, когомология алгебры Л возникает из точных последовательностей Л-бимодулей, которые расщепляются как последовательности К-модулей.
Отсюда следует, что модули являются существенным элементом исследования. Однако точность резольвенты и определение проективного объекта суть свойства гомоморфизмов; все рассуждения остаются в силе, если модули и гомоморфизмы заменить любыми объектами А, В, ... с «морфизмами» а : А -> В, которые можно складывать, перемножать и которые имеют подходящие ядра, коядра (В/аА) и образы. С технической точки зрения это равносильно построению гомологической алгебры в абелевой категории (гл. IX). _ Из функтора Т0(А) = А ® G мы построили последовательность функторов Т„ {А) = Тогп (/4, G). Вообще пусть Т0—произвольный ковариантный функтор, который аддитивен [То («1 + а2) = ToOCi + ТоСс2] и переводит каждую точную последовательность 0 —*• A —v В С 0 в точную справа последовательность Т0 (Л) Т0 (В) Т0 (С) 0. Мы опять исследуем ядро
морфизма То (А) То (В) и строим новые функторы для его описания. Если в категории «достаточно» проективных объектов, то каждый объект А имеет проективную резольвенту Р и объект Нп (Т0 (Р)) не зависит от выбора Р и определяет функтор Тп (А), входящий в длинную точную последовательность
г**
..-*Тп{А)->Тя(В)-+Тп(С)->Тп-1(А)-+ ... .
Таким образом, То определяет целую последовательность производных функторов Т„ и связывающих гомоморфизмов ?* : Тп (С)
->¦ Тп~ 1 (Л). Эти «производные» функторы можно охарактеризовать аксиоматически тремя основными свойствами (гл. XII):
(i) приведенная выше последовательность точна;
(и) если Р — проективный объект и п > 0, то Тп (Р) = 0;
(iii) если ЕЕ" — гомоморфизм точных последовательностей, то диаграмма из связывающих гомоморфизмов коммутативна (естественность!):
Тп(С) -*ТП_,(Л)
I i
(А').
16
Введение
В частности, если Т0 (Л) = Л <g) G, то эти аксиомы характеризуют Тогп (Л, G) как функторы аргумента Л. Имеется подобная характеристика и для функторов Ext” (С, А) (гл. III). Иначе говоря, каждый производный функтор Тп может быть описан только в терминах предыдущего функтора Тп_4; именно, если Е : Sn (С) -> Sn-i (Л) другой естественный связывающий гомоморфизм между аддитивными функторами, то каждое «естественное» отображение Sn-1 в Тп-1 продолжается единственным образом до естественного отображения Sn в Тп. Это «универсальное» свойство функтора Тп описывает его как левый сателлит функтора Tn-t; он может быть использован для построения умножений.
Последовательные и взаимосвязанные этапы обобщения появляются всюду при изложении гомологической алгебры. Мы идем от абелевых групп к модулям, к бимодулям, к объектам из абелевой категории; от колец к группам, к алгебрам, к алгебрам Хопфа (гл. VI); от точных последовательностей к Z-расщепляющимся точным последовательностям, к «собственному» классу точных последовательностей, охарактеризованному аксиомами (гл. XII). Предмет находится в процессе быстрого развития; наиболее общая формулировка еще должна быть получена. По этой причине движение идет в книге от частного к общему и предшествующие результаты объединяются в заключительном изучении (гл. X11) аддитивных функторов в абелевой категории по отношению к собственному классу точных последовательностей.
