Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
D(u,t) = tw + (l—t)u, 0«d, и?С. (8.2)
Эта функция, очевидно, непрерывна и принимает значения из множества С, потому что С выпукло.
Геометрическое понятие гомотопии тесно связано с алгебраическим понятием цепной гомотопии. В качестве первого примера мы докажем
Предложение 8.1. Любое выпуклое множество С евклидова пространства ациклично.
В доказательстве используется цепная гомотопия s : Sn (Q ->¦ Sn+l (С). Поскольку Sn (С) — свободная абелева группа, порож-
§ 8. Гомотопия
83
денная сингулярными п-мерными симплексами Т пространства С, достаточно определить для каждого Т сингулярный (п + ^-мерный симплекс sT : An+1 -*¦ С. Используя барицентрические координаты (х0, . . xn+i) точки симплекса Ап+’, положим
(sТ) (х0, ..., х„+1) =
[ x0w + (l-xB)T^j^, ..., х0ф1, {8Я)
{ W, Хо=1,
где w — фиксированная точка из С. Для того чтобы убедиться в том, что функция sT непрерывна при х0 — 1, мы перепишем определение таким образом, чтобы оно походило на геометрическую гомотопию D из (8.2). Пусть &о = 0 есть первая вершина симплекса Ап+1. Тогда
(О, xj(\ —лг0), ..., х„+1/( 1 — х0))
можно рассматривать как барицентрические координаты некоторой точки и' на противоположной грани. Каждая точка из Ап+1 может быть записана как среднее взвешенное x0v0 + (1 — х0) и' для некоторой единственной точки и', за исключением того случая, когда х0 = 1. Точка и" противоположной грани определяет такую точку и ? Ап, для которой е°и = и'. Определение (8.3) теперь во всех случаях можно прочитать следующим образом:
(sT) (x0t>0 + (1 — *о) и') = x0w + (1 —х0)Т (и), 8°ы = и'.
Другими словами отрезок из An+*, соединяющий v0 с каждой точкой и' противоположной грани, отображается посредством sT линейно на сегмент, соединяющий w 6 С с Т (и) в С. В частности, поскольку А" компактно, то ТА” компактно и, следовательно, ограничено, так что sT: Ап+' С непрерывно при х0 = 0.
Это отображение s:Sn (С) 5„+1 (С) является стягивающей
гомотопией для расширенного комплекса е: S (X) ->- Z. Пусть в обозначениях (2.5) f : Z S (X) — цепное преобразование, которое переводит 1 ? Z в сингулярный нульмерный симплекс Т0 данной точки w ? С. Если положить xt — 0, i-я грань dt (sT) является сингулярным n-мерным симплексом, получающимся из (8.3). Следовательно, d„ (sT) = Т, a di+i (sT) = sdtT, если п > 0, и dxsT = = Г0, если п = 0. Отсюда д (sT) — Т — s (дТ) при п > 0, dsT 7' — /еТ1 при п = 0 и е/ = 1, в согласии с (2.5). Значит, комплекс S (X) ацикличен, что и требовалось доказать. Н
Более обще, рассмотрим произвольную гомотопию F: Xxl-+Y. Будем считать X х/ цилиндром с основанием X; границей этого цилиндра является верхнее основание (на котором F — /4) минус нижнее основание (на котором F = fQ) минус стороны
6*
84
Гл. II. Гомология комплексов
[т. е. минус F на (дХ) хЛ. Окончательная схематическая формула dF = fi — f0 — Fd подсказывает определение ds = Д — f0 — sd цепной гомотопии. Эти наводящие рассуждения можно точно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 8.2. Если /0 ^ Д: X Y есть гомотопные непрерывные отображения, то индуцированные цепные преобразования S (fa), S (fi) : S (X) 5 (F) цепно гомотопны.
Мы сведем эту теорему к специальному случаю цилиндра X х /• Под нижним основанием b и верхним основанием t этого цилиндра мы будем понимать непрерывные функции b,t:X-*-XxI, определенные равенствами Ь (х) = (х, 0) и i (jc) = (х, 1); эти функции, очевидно, гомотопны.
Лемма 8.3. Для любого цилиндра существует цепная гомотопия и : S (t) еьг S (Ь).
Из этой леммы вытекает теорема 8.2. Действительно, пусть F: Хх1 ->• Y — произвольная гомотопия F: /0 ~ ft. Тогда Fb = /о, Ft = fi к S (F) — цепное преобразование. Определим s как произведение
s = Sn+i (F) и : (X) Л Sn+i (X х I) -* Sn+l (У).
Тогда
ds + sd = 5 (F) (ди + ud) = S (F) (S (t) - S (b)) = S (h) - S (f0).
При доказательстве леммы мы установим большее: отображение и — их '¦ S (X) -*¦ S (Хх1) можно построить сразу для всех топологических пространств таким образом, чтобы это отображение было естественным. Для каждого непрерывного отображения g: X X" топологических пространств естественность требует, чтобы диаграмма
U V
Sn(X) —sn+i(Xxi)
|s(«) J,s<gxt) (8.4)
Sn(X')----->Sn+i(X'xI)
была коммутативной. Заметим, что отображения b, t: X X х / уже естественны. Мы построим нужное отображение и индукцией по п. Для п = 0 сингулярный нульмерный симплекс — это просто точка Т (0) из X. Возьмем в качестве и0Т сингулярный одномерный симплекс, определенный равенством (и0Т) (х0, Xi) = (Т (0), xt), так что UqT есть вертикальный отрезок, проходящий через Т (0) в цилиндре X х /. Тогда d0 (ийТ) — t (Т (0)), (и0Т) = b (Т (0)), так что
