Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 32

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 227 >> Следующая

J— !•
Для каждого пространства X мы построим теперь комплекс S (X) абелевых групп, называемый сингулярным комплексом пространства X. Возьмем за Sn (X) свободную абелеву группу, свободными образующими которой являются все сингулярные п-мерные симплексы Т пространства X. Тогда операция взятия t-й грани определяет гомоморфизм dt: Sn (X) -v S„_i (X) для i = 0, . . ., n и n > 0. Определим граничный гомоморфизм
д: Sn (X) —> Sn-i (X)
как сумму гомоморфизмов взятия граней с чередующимися знаками, т. е.
dT=d0T-diT+...+(-l)ndnT^ 2 (-lydiT, п>0. (7.8)
i=0
Далее, n-мерная цепь с ? Sn (X) имеет единственное представление в виде суммы с = 2,т с (Т) Т, где коэффициенты с (Т) будут целыми числами, равными нулю, за исключением конечного числа симплексов Г; ее граница дс = 2 с (Т) дТ. Для доказательства того, что S (X) есть комплекс, нужно показать, что произведение дд: Sn ->S„_2 равно нулевому гомоморфизму при п> 1. Достаточно установить, что ддТ = 0. Но
ддТ=^(-1 )i+j did}T+%(-l )i+i di d}T.
i<] i Zzj
Используем (7.7) и изменим символы i и / во второй сумме. Тогда ддТ= 2 (-1 )i+i dj-i diT+^(-l)i+ft 4diT.
§ 7. Сингулярная гомология
81
Обе суммы равны с точностью до знака, следовательно, они взаимно уничтожаются, что и дает дд = 0. Теперь n-мерная группа сингулярных гомологий Нп (X) пространства X определяется как п-я группа гомологий Нп (S (X)) комплекса S (X).
Теорема 7.2. Группа гомологий Нп (X) является ковариантным функтором от X.
Доказательство. Если Y — второе топологическое пространство и /: X -> Y — произвольное непрерывное отображение, то каждый сингулярный симплекс Т: А" -> X пространства X определяет при умножении на f сингулярный симплекс /Т: А" -*¦ Y пространства Y. Соответствие Т -*¦ fT, заданное для образующих группы Sn (X), определяет гомоморфизм Sn (/): Sn (X) Sn (Y). Более того, di (fT) = f (djT); следовательно, dS (f) = S (f) д, так что S (f) — цепное преобразование, которое индуцирует гомоморфизмы Нп (S (/)): Нп (X) Нп (Y) групп гомологий любой размерности. Вместе с этими гомоморфизмами Яп является ковариантным функтором в категории, объектами которой служат все топологические пространства, а морфизмами — все непрерывные отображения.
Если G — произвольная абелева группа, то группы когомологий Я" (S (X), G) являются группами сингулярных когомологий пространства X с коэффициентами в G. Они являются бифункторами, контравариантными по X и ковариантными по G.
Гомоморфизм е: S0 (X) ->• Z, переводящий все сингулярные 0-мерные симплексы в 1 62, называется пополнением S (X). Поскольку ед = 0 : Si (X) Z, е: S (X) -*¦ Z есть комплекс над Z. Более того, е индуцирует эпиморфизм е* : Но (X) -» Z. Пространство X называется ацикличным, если Я„ (X) = 0 при п > 0 и е* является изоморфизмом Но (X) =
Предл ожение 7.3. Топологическое пространство с единственной точкой ациклично.
Доказательство. Пусть X = {л:} — данное пространство. Для любой размерности п пространство X имеет только один сингулярный симплекс, именно отображение Тп : А" *-»- {х}, которое стягивает А11 в точку х. Следовательно, каждая грань diTn есть Тп-ь i = 0, . . ., п. Поскольку дТ есть альтернированная сумма граней dT2m = Т2т-1 и dT2m-i == 0. Значит, в четных размерностях S (X) нет циклов, кроме 0, в то время как в нечетных размерностях все элементы из S2m-i (X) являются циклами, а также границами. Следовательно, Нп (X) = 0 при всех п> 0; очевидно, что Но (X) ^ Z.
6-353
82
Гл. II. Гомология комплексов
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть аффинный симплекс Г является выпуклой оболочкой аффинно независимых точек и0, . . ., ит. Показать, что точка и тогда и только тогда совпадает с одной из точек uit когда из того, что о, w ? Г и и лежит на отрезке, соединяющем о и w, следует, что и = v или и = аи. Вывести отсюда, что Г как выпуклое множество определяет свои вершины.
2. Пусть пространство X линейно связно. Доказать, что е* : Но (X) es Z. (Определение: пусть I — единичный интервал. Пространство X линейно связно, если для любой пары точек х, у в X существует непрерывное отображение f: I -*¦ X, для которого f (0) = х, f (1) = у.)
§ 8. Гомотопия
Говорят, что два непрерывных отображения пространства X в пространство Y гомотопны, если можно непрерывно деформировать первое отображение во второе. Рассмотрим деформацию как протекающую на единичном временном интервале; тогда ее можно считать непрерывным отображением, определенным на декартовом произведении X х/ пространства X и единичного интервала I, 0< t -C 1, действительной оси t. Значит, мы даем такое
Определение. Два непрерывных отображения /0, fi : X
Y называются гомотопными, если существует такое непрерывное отображение F: X х/ ->• Y, что
F(x, 0) = fo(x), F(x, l) = h(x). (8.1)
В этом случае мы будем писать F: /0 ^ fi '¦ X Y.
Условие (8.1) означает, что гомотопия начинается при t — О с начального отображения /0 (х) и кончается при t = 1 последним отображением (х). Например, пространство X называется стягиваемым, если тождественное отображение 1: X X гомотопно отображению, которое переводит X в точку. Любое выпуклое множество С евклидова пространства стягиваемо в любую свою точку w гомотопией D, определенной формулой
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed