Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Аффинный т-мерный симплекс — по определению выпуклая оболочка т + 1 аффинно независимых точек. Эти точки являются вершинами симплекса. Так, одномерный симплекс — это прямолинейный отрезок, двумерный симплекс — это треугольник (с внутренностью), трехмерный симплекс — тетраэдр и т. д. Для каждой размерности п мы выберем стандартный аффинный п-мерный симплекс Д" в пространстве Еп и будем обозначать вершины А71 как (О, 1, . . ., п). (Например, возьмем за 0 начало координат, а за
1, 2, . . ., п ортогональный базис из п векторов из Еп.)
Для любого топологического пространства X сингулярным п-трным симплексом Т в X называется непрерывное отображение Т: ДП->Х. Так, нульмерный симплекс в X — это просто точка из X или, более точно, отображение стандартной точки Д° в точку из X. Сначала мы построим некоторые сингулярные симплексы в выпуклых подмножествах пространства Е.
Пусть Е и Е* — евклидовы пространства, L: Е -*¦ Е" — линейное преобразование и uj — фиксированный вектор в Е\ Функция / (и) — ul, + L (и), и 6 Е, называется аффинным преобразованием f: Е -> Е*. Будучи композицией линейного преобразования L и сдвига на и0, f является непрерывным отображением.
Предложение 7.1. Если и0, суть in + 1) аффин-
но независимых точек в Еп, a v0, . . ., vn в Е\ то существует единственное аффинное преобразование f: Еп -*¦ Е", для которого f (щ) = vt, i = 0, . . ., п.
Доказательство. Векторы щ — «о, i = 1, . • ., п составляют базис в Еп. Пусть L — однозначно определенное линейное преобразование, для которого L (ыг — ы0) = vt — vQ] тогда f (и) = = v0 — L (и0) + L (и) есть искомое аффинное преобразование. Оно может быть записано также в барицентрических координатах:
f (xqUq-|-х^и, + . • • -\-xnun) — x0v0-\-... xnvn, 2 = 1 •
В частности, пусть v0.........vn — упорядоченное множество*
точек выпуклого подмножества С из Е'. Единственное аффинное преобразование f:En-*- Е\ которое переводит вершины 0, 1, . . ., п стандартного симплекса А" в том же порядке в точки v0, . . ., vn>. задает непрерывное отображение Дп -> С, обозначаемое как
(v0, vn)c: Дп —>С.
§ 7. Сингулярная гомология
79
Это отображение мы будем называть аффинным сингулярным, п-мер-
ным симплексом (отображающим стандартные вершины 0..............п
в v0, . . vn). Например, если v0, . . ., vn аффинно независимы, это отображение является гомеоморфизмом стандартного симплекса А" на аффинный симплекс, натянутый на точки V. В частности, Jn = (0, 1, . . п)д„ — тождественное отображение А" на себя. Если v0, • • vn зависимы, то соответствующее отображение (v0, . . ., vn)c стягивает стандартный симплекс А" на симплекс меньшей размерности.
Теперь мы можем описать «границу» А", состоящую из некоторых (п — 1)-мерных сингулярных симплексов, которые являются «гранями» А". Например, грани треугольника А2 = = (0, 1, 2) суть стороны, представленные отрезками (12), (02) и (01); в обозначениях (7.2) они являются тремя непрерывными отображениями (1, 2)дг, (0, 2)да и (0, 1 )д2 симплекса А1 в А2.
В общем случае А" имеет п + 1 грань; i-я грань этого симплекса — это аффинный сингулярный (п — 1)-мерный симплекс
е* = е^: (0, I, I, ..., л)дп : А"-1 —> Ап, 1 = 0, ...,п, (7.3)
где символ i означает, что вершина i должна быть пропущена. Любой сингулярный n-мерный симплекс Т: А" -> X имеет п + 1 грань diT. Эти грани определяются формулой
diT = Te^: А"-1—>Х, i = 0, ..., п, п> 0. (7.4)
Другими словами, dtT есть отображение, полученное ограничением Т на t-й грани А" и рассматриваемое (при помощи е4) как отображение, определенное на А"-1. Любой сингулярный симплекс Т можно записать как произведение Т = TJn, где Jn: Д"->Д" — тождественное отображение А" и, следовательно, сингулярный п-мерный симплекс пространства А". Грани Т задаются тогда формулой
diT = T(diJn), i = 0,...,n, п> 0. (7.5)
Для аффинного сингулярного симплекса (7.2) i-я грань получается, если опустить i-ю вершину
di (v0, ..., vn)c = (Vo, ...,щ, ..., vn)c¦ (7.6)
Процесс построения итерированных граней удовлетворяет тождеству
di djT — dj-i diT, i < /. (7.7)
Ввиду (7.5) достаточно установить это соотношение для Т = Jn; но в этом случае оно очевидно, поскольку опустить сначала вер-
80
Гл. II. Гомология комплексов
шину /, а потом вершину i — это то же самое, что опустить сначала вершину i, а затем (в новой нумерации вершин diJn) вершину / — 1. Другое доказательство можно получить, представив каждую точку стандартного n-мерного симплекса А" ее барицентрическими координатами х0, . . ., хп. Сингулярный n-мерный симплекс Т в пространстве X является тогда непрерывной функцией со значениями Т (х0, ..., хп) в X, определенной для всех действительных чисел xit где Xj>0 их0 + . . . + 4= 1, причем i-я грань будет функцией, определенной формулой
(d{T) (Xq, . . ., Xn—l) Т (ЛГо, • • •, %i-ii О, Xi, .., Xji—i),
т. е. приравниванием i-й переменной в Т нулю. Следовательно, получаем (7.7), потому что приравнять сначала xj нулю, а затем Xt нулю при /</вГ (лг0, . . ., хп) — то же самое, что приравнять Xi нулю, а затем приравнять нулю переменное с новым номером
