Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
P+Q=Tl
-> 2 10Т,(НР(К), Hq(L))->0.
p+g=n—1
Но, увы, если А — подгруппа группы В, то А ® G обычно не есть подгруппа в В ® б; иначе говоря, если ?:0->-Л->-В->-С->0 есть точная последовательность, то последовательность тензорных произведений
0—> A <g) G —> В <g) G —> С <gi G—> 0
точна, за исключением, быть может, члена А ® G. К счастью, периодическое умножение устраняет это затруднение; данная последова-
12
Введение
тельность Е определяет гомоморфизм Tort (С, G) A <g) G, образ которого в точности равен ядру гомоморфизма А ® G -*¦ В ® G, н последовательность
. О—> Tor, (A, G) Torj (В, G) Тог, (С, G) А ® G-> В ® G
точна. Назовем Е* связывающим гомоморфизмом для Tort и ®.
Но вновь, увы, если А — подгруппа группы В, то гомоморфизм / : А <5 не всегда можно продолжить до гомоморфизма В -+¦ G; другими словами, точная последовательность 0 -*¦ А -*¦ В -*• С -*¦ О индуцирует последовательность (в обратном направлении ввиду контравариантности)
О -* Нот (С, G) —> Нот (В, G) -* Нот (A, G) —> О,
которая может оказаться неточной в Нот [A, G). Ext1 спасает положение: существует «связывающий» гомоморфизм Е*, который порождает более длинную точную последовательность
г*#
0^ Нот (С, 6)-+ Нот (В, <?)-* Нот (A, G)
Е+
-> Ext1 (С, (?) -> Ext1 (В, G) Ext1 (A, G) 0.
Теперь обобщим сказанное; заменим абелевы группы модулями над произвольным коммутативным кольцом R. Тогда Ext1 (A, G) снова определяется как ^-модуль, но наша длинная последовательность может не быть точной в члене Ext1 (A, G). Существуют новый функтор Ext2 (A, G), новый связывающий гомоморфизм Е* : Ext1 (/4, G) Ext2 (С, (?) и точная последовательность, простирающаяся до бесконечности вправо:
... -> Ext" (С, G)-* Ext1* (В, G) Extn (A, G) ^
Д-Еxtn+1(C, G)-* ... .
Элементы из Ext" (С, G) являются подходящими классами эквивалентности длинных точных последовательностей
0 —> G —>¦ Bn—i —> ... —> Во —> С —> 0,
идущими от G к С через п промежуточных модулей. Аналогичное положение имеется для периодического умножения; существуют функторы Тог„ (Л, G), определяемые с помощью подходящих образующих и соотношений, которые входят в длинную точную последовательность
Введение
13
индуцированную каждой точной последовательностью Е : 0 -> ->-Л->-Д-»-С->-0. Они применимы также и в том случае, когда кольцо не коммутативно, если А, В и С — правые ^-модули, a G — левый Я-модуль.
Эти функторы Тогп и Ext” являются предметом изучения гомологической алгебры. Они дают когомологию различных алгебраических систем. Если П — группа, то возьмем в качестве R групповое кольцо, порожденное группой П над кольцом целых чисел. Тогда группа Z целых чисел есть (тривиальный) R-модуль; если А — любой другой Я-модуль, то группы Extn (Z, А) являются группами когомологий Нп (П, А) группы П с коэффициентами из А. Если п = 2, группа Яа (П, А) оказывается, как и должно быть, группой всех расширений В абелевой группы Л с помощью (неабелевой) группы П, причем структура А как П-модуля показывает, как А вкладывается в В в качестве нормального делителя. Если п = 3, то Я3 (П, Л) — это группа, элементы которой являются «препятствиями» для задачи расширения. Аналогично Torn (Z, А) дает группы гомологий группы П. Если теперь Л — алгебра над полем F, то Ext™ строится с помощью длинных точных последовательностей двусторонних Л-модулей Л. Алгебра Л сама является таким модулем, и Ext" (Л, Л)—это когомология Л с коэффициентами из Л; вновь Ext2 и Ext3 соответствуют задачам расширения для алгебр.
Модуль Р проективен, если каждый гомоморфизм Р-+В/А можно провести через В с помощью Р -*¦ В. Каждый свободный модуль проективен; запишем произвольный модуль в образующих, тогда он выразится как фактормодуль свободного модуля и, следовательно, проективного модуля.
Как можно вычислить Тог„ и Ext"? Запишем Л как фактор-модуль проективного модуля Р0, т. е. составим точную последовательность 0 <- А чг- Р0. Ядро гомоморфизма Р0 -*¦ А снова является фактормодулем проективного модуля Pt. Продолжение этого процесса дает точную последовательность 0 Л ч- Р0 Pi ¦*- .... Комплекс Р называется «проективной резольвентой» модуля Л. Этот комплекс ни в к^ком смысле не однозначен; сравним два таких комплекса:
О <— А
д
II
О <— Л
Поскольку модуль Р0 проективен, отображение Р0 -*¦ А можно провести через Р'0 -*¦ А с помощью /0- Произведение Pi Р'0 затем можно провести через Р^-*- Р’0 с помощью fi : Pi -*• Р[
14
Введение
так, что dfi — fod, и так далее по индукции. Результирующее сравнение /„ : Р„ -v Р'п комплексов индуцирует гомоморфизм Нп (Р ® G) Нп (Р' 0 G). Изменение ролей Р и Р’ и деформация произведения Р —v Р* —>¦ Р в тождественное отображение (деформации называются гомотопиями) показывают, что этот гомоморфизм является изоморфизмом Нп (Р ® G) ^ Я„ (Р" ® G). Следовательно, группы гомологий Я„ (Р ® G) не зависят от выбора проективной резольвенты Р, а зависят только от А и G. Они оказываются группами Тог„ (A, G). Аналогично группы когомологий Я™ (Р, G} являются группами Ext” (A, G), а необходимые связывающие гомоморфизмы Е* могут быть получены из основной точной гомологической последовательности комплексов (гл. II). Таким образом^ Тог и Ext можно вычислить с помощью проективных резольвент. Например, если П — группа, то модуль Z имеет стандартную «В-резольвенту» (гл. IX), когомология которой совпадает с когомологией группы П. Для отдельных групп специальные резольвенты более эффективны. Ш
