Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 29

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 227 >> Следующая

А ~^В ДС->0
(D):
О-^Л'-^Б'-^С'
с точными строками существует такое отображение D* : Кег у -> ->Coker а, естественное для функторов с аргументом D, что последовательность
Кег а —> Кег р —> Кег у —Coker а —> Coker р —> Coker у (5.2)
точна. Мы назовем (5.2) последовательностью Ker-Coker.
Доказательство. Пусть г. Кег у -*-С — вложение, г}: А' -*-А'/аА — проекция. Обращающая формула D* = = т]х/"1рст"11 однозначно определяет D*. Для доказательства точности последовательности (5.2), например в члене Coker а, предположим, что х* (а' + аЛ) = 0 для некоторого а!. Тогда %’а’ = рЬ для некоторого b и о'%'а = yob — 0, так что ob 6 Кег у и, следовательно, D^ob — а' + аЛ, что и дает нужную точность. Оставшаяся часть доказательства проводится аналогично.
Мы назовем D* связывающим гомоморфизмом диаграммы D. Теперь мы докажем теорему 4.1 для короткой точной последовательности Е комплексов К >* L М. Пусть Сп (К) обозначает
74
Гл. II. Гомология комплексов
модуль n-мерных циклов модуля К; построим диаграмму Кп/dKn+i —=* Ln/дЬп+j —> Мп/dMn+i —> О
?>(?): I8*
О Сп-! (К) Cn-t (L) Cn-i (М)
с точными строками и вертикальными отображениями, индуцированными д. Первое ядро — это Сп (K)/dKn+i = Нп (К), а первое коядро — это С„_! (К)/дКп = Нп-1 (К), так что Кег-Coker последовательность (5.2) принимает вид
Нп (К) Нп (.L) -> Нп (М) Нп-, (К) -> Нп-1 (L) Нп-t (М).
Среднее отображение D (?)#, определенное обращением, совпадает со связывающим гомоморфизмом дЕ теоремы 4.1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать 3X3 лемму диаграммным поиском, не используя точную гомологическую последовательность.
2. Показать, что вторая строка может не быть точной, если в условии 3X3 леммы предположить точность только первой и третьей строк; эта строка точна, если = 0.
3. В предположениях 3X3 леммы установить точность последовательностей
0 > Аз > В3 0 Л2 ^ В% =*¦ Cj >0,
0 > А3 =*¦ В2 ^ ^2 Ф &1 ^ ^1 ^
4. Предположим, что в коммутативной 3X3 диаграмме все три столбца точны «слева» (т. е. точны в Л и В) и две последние строки точны слева. Доказать, что первая строка точна слева. Если дополнительно Pi и § — эпиморфизмы, то доказать точность первой строки.
5. Доказать точность Ker-Coker последовательности при помощи
точной гомологической последовательности. [Указание: заменить А
на Coim (А -+¦ В) и двойственно для С'.)
6. Для любых гомоморфизмов а: А -*¦ В, Р: В С построить точную последовательность
0 —> Кег а —> Кег Ра —> Кег р —> Coker а —> Coker 0а —> Coker р —> 0.
§ 6. Аддитивные отношения
«Обращающие» формулы могут быть объяснены в терминах «аддитивных отношений». Они появятся позднее при рассмотрении спектральных последовательностей.
Аддитивное отношение г: А -*• В определяется как подмодуль прямой суммы А @ В\ другими словами, г есть непустое множество пар (а, Ь), замкнутое относительно сложения и умножения на эле-
§ 6. Аддитивные отношения
75
менты из R. Обратными г является аддитивное отношение г-1: В-^А, состоящее из всех таких пар (Ь, а), что (а, Ь) 6 г. Если s: В С — другое аддитивное отношение, то произведением sr: А С считается множество всех таких пар (а, с), для которых существует такое b ? В, что (а, b) ? г, (Ь, с) 6 s. Это умножение ассоциативно, если оно определено. Граф гомоморфизма а: А -> В — это аддитивное отношение, состоящее из всех пар (а, аа) для а 6 М поскольку произведением двух графов является граф произведения гомоморфизмов, мы можем отождествить каждый гомоморфизм с его графом. Класс всех модулей, играющих роль объектов, и всех аддитивных отношений г.А.-^ В, играющих роль морфизмов, является категорией, но отметим, что произведение гг"1 не обязано быть единичным отношением.
Для каждого аддитивного отношения г: А В введем подмодули
Def г = [а |(Э6), (a, b)?r] Imr = Deir1,
Кег г = [а | (a, 0)?r] Indr = Kerr_1.
Здесь Kerr cz Defr с: Л и Indr с= Im г с= В. Подмодуль Defr — это область определения г, в то время как Ind —«неопределенность» г, состоящая из всех таких Ь, что (О, Ь) 6 г. Более того, г есть граф гомоморфизма тогда и только тогда, когда Defr — А и Ind г — 0.
Например, обратным для гомоморфизма 0: В -> А служит аддитивное отношение р-1, где Def р-1 = Im р, Ind Р'1 = Кег р. В комплексе К множество пар (с, els с), где с ? Сп (К), составляет аддитивное отношение els : Кп Нп (К) с Def (els) = Сп (К).
В силу этих замечаний «обращающая» формула для связывающего гомоморфизма появляется как произведение аддитивных отношений.
Каждое аддитивное отношение может рассматриваться как «многозначный» гомоморфизм; более точно, как гомоморфизм подмодуля в фактормодуль.
Предложение 6.1. Каждое аддитивное отношение г.А^В определяет такой гомоморфизм r° : Defr->- 5/(Ind г), что
г = я_1г°/~\ /: Defr—> А, я: В—> 5/Indr, (6.2)
где j — вложение, ап — проекция. Обратно, пусть даны подмодуль S cz А, фактормодуль BIL модуля В и гомоморфизм р: S BIL. Существует такое единственное аддитивное отношение г: А -*¦ В, что г° = р.
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed