Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда д: Mn M„_t удовлетворяет условию' д2 = 0, так что М — комплекс, а вложение i: К' -+М есть цепное преобразование. Проекция я : М -> К+, определенная как я (k, k') = k, также является цепным преобразованием, если под К+ мы будем понимать комплекс К со сдвинутыми на единицу размерностями и измененным знаком у дифференциала [т. е. (К+)п = Кп-J- Более того, последовательность Efi К' М -» К+ является короткой точной последовательностью комплексов. Следовательно, имеем
' Предложение 4.3. Цепное преобразование f: К -*¦ К' с конусом отображения M(f) определяет точную последовательность
—> нп (К') ^ нп {м (/)) Д (К) Д Hn-i ю -+ ¦ • • •
Доказательство. Эта последовательность является точной гомологической последовательностью для ?/, поскольку Нп (К+) = Hn-i (К), а связывающий гомоморфизм дв,: Нп (К+) -+¦ -*¦ Нп-i (К') совпадает, как можно проверить, с гомоморфизмом, индуцированным f.
Конус отображения есть алгебраический аналог следующей геометрической конструкции/ Пусть f: X -*~Х' непрерывное отображение топологических пространств. Построим конус над X,
взяв декартово произведение Хх1 с единичным интервалом I и отождествив все точки (х, 0) для х ? X. Присоединим этот конус к X', отождествив каждую точку (л:, 1) из X X I с / (х) € X'; получившееся пространство есть конус отображения f и подсказывает формулу для взятия границы. Дольд [1960] провел дальнейшее исследование этих идей.
§ 4. Точная гомологическая последовательность
69
Теперь мы рассмотрим точные когомологические последовательности. Говорят, что короткая точная последовательность Е комплексов Я-модулей расщепляется как последовательность модулей, если для каждого п последовательность Кп >* Ln-» М„ расщепляется, т. е. если для каждого п, Кп есть прямое слагаемое для Ln. Например, если каждый модуль Мп проективен, то последовательность Е из (4.1) расщепляется как последовательность модулей в силу теоремы 1.6.3.
Теорема 4.4. Если G — R-модуль, а Е короткая точная последовательность (4.1) комплексов R- моду лей, которая расщепляется как последовательность модулей, то существует для каждой размерности п такой естественный связывающий гомоморфизм бе : Я" (К., G) —(M,G), что последовательность групп когомологий
<Т* fe* bp.
----->Нп (М, G)—>Hn (L, G)-> Нп(К, G) Я"+> (М, G) —» • • •
(4.8)
точна.
Доказательство. Для построения когомологической последовательности для Е сначала применим контравариантный функтор Ношн (—, G) к Е. В результате получим обращенную последовательность комплексов
Е* : 0 —> Нош (М, G) —> Нош (L, G) —> Нош (К, G) —> 0.
Поскольку последовательность Е расщепляется как последовательность модулей, последовательность Е* точна. Связывающий гомоморфизм для Е*
Зе* : Н-п+1 (Нош (К, G))'—» Я_„ (Нош (М, G))
дает искомый связывающий гомоморфизм 6Е, если записать члены последовательности с верхними индексами: Я"-1 = Н-„+1.
Ввиду предложения 4.2 6Е естествен, если аргументы групп Я" (К, G) и Я"+1 (М, G) рассматривать как аргументы контрава-риантных функторов из категории тех коротких точных последовательностей комплексов, которые расщепляются как модули. По той же причине бЕ также естествен, если рассматривать указанные функторы как ковариантные по аргументу G. Наконец, точная гомологическая последовательность для Е* с поднятыми индексами становится искомой точной когомологической последовательностью (4.8).
70
Гл. II. Гомология комплексов
Для ссылок мы опишем, как действует 6Е на коцепи. Поскольку последовательность Е* точна, каждый я-мерный коцикл из К, рассматриваемый как гомоморфизм /: Кп -*¦ G, можно представить в виде / = g%, где g: Ln -*-G есть «-мерная коцепь из L. Тогда gdx = gxd =/3 = 0, так что gd представимо в виде gd — ha для некоторого h: Mn+l ->G. Поскольку hdo = had = gdd — 0 и а эпиморфизм, то fid = 0, т. е. h — коцикл в М. Тогда отображение
6Е els / = els h определяет гомоморфизм ЬЕ: Нп (К, (?) —>ЯП+1 (М, G),
(4.9)
причем ha = gd, gx = / для некоторого g. Снова получается «обращающее» правило: ЬЕ — els сг*-1бх*-1 els'1.
Другая точная последовательность групп когомологий возникает из короткой точной последовательности
S:0^G'\g^G"^0 (4.10)
модулей «коэффициентов». Если К. — произвольный комплекс, то мономорфизм X: G' -*-G индуцирует гомоморфизм X* : Я" (К, G') -*¦ -> Я" (К, G). Информация о ядре и коядре Я* содержится в следующей точной последовательности (которая не является двойственной к последовательности из теоремы 4.4).
Теорема 4.5. Если К — комплекс R-модулей, в котором каждый модуль Кп проективен, и если S — короткая точная последовательность R-модулей типа (4.10), то для каждой размерности п существует связывающий гомоморфизм bs: Нп (K,G") -»-Я"+1 (К, G'); этот гомоморфизм естествен, если рассматривать Я" (К, G) как ковариантный функтор по аргументу S и контравариантный функтор по аргументу К, и включается в длинную точную последовательность
