Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 26

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 227 >> Следующая

С - >д1-> 0 в Кп Л Ln -i > Мп.
Гомологический класс els с 6 Нп {К) не зависит от выбора /, удовлетворяющего равенству ст/ = т, определяется только гомологическим классом элемента т и аддитивно зависит от т. Следовательно, отображение 6е (els m) = els с определяет гомоморфизм
дЕ: Нпн (М) -+ Нп (К), (4.2)
называемый инвариантной границей или связывающим гомоморфизмом последовательности Е. Более детально,
дЕelsт = else, если не —dl, al — m для некоторого /. (4.3)
5-353
66
Гл. II. Гомология комплексов
Это подсказывает обозначение с — к'1 da^m; или, если рассматри-. вать символ els как гомоморфизм clsK : Сп (/С) -*-Нп (К), то дЕ определяется «обращающей» формулой дЕ — (cls^) х-1 до~х (clsM)\ несмотря на то, что обратные отображения els-1, х~\ а"1 определены неоднозначно (см., однако, § 6, ниже).
Теорема 4.1. (Точная гомологическая последовательность.) Для каждой короткой точной последовательности (4.1) цепных комплексов соответствующая длинная последовательность
------> Я„+1 (М) Я„ (К) —^ Нп (L)
^ Нп (М) ~Е-* Hn-i (/С) —> - • - (4.4)
групп гомологий, в которой отображение дЕ — связывающий гомоморфизм, а х* = Нп (х), а* = Нп (а), является точной.
Последовательность (4.4) бесконечна в обе стороны, но равна нулю при п < 0, если комплексы положительны. Она дает искомое описание ядра и коядра отображения Нп (х): Нп (К) ->¦ Нп (L) в том случае, когда х мономорфизм, именно, ядро равно dEHn+i (М), а коядро изоморфно ст#Яп (L).
Доказательство. В силу определений произведение любых двух последовательных гомоморфизмов последовательности (4.4) равно нулевому гомоморфизму. Для каждой размерности п покажем, что (i) Кег х* с: дЕ Hn+l (М); (ii) Кег с= и*Яп (К); (iii) Кег дЕ а о^Нп (L). Нашими предварительными рассуждениями показана уже справедливость первого включения.
Для доказательства второго включения предположим, что els (с)—это гомологический класс такого цикла с из Ln, что a* (els с) = 0. Это значит, что ас = дт для некотррого т ? Mn+i. Поскольку о? — эпиморфизм, существует элемент I ? Ln+1, для которого ol = т. Следовательно, а (с — д1) = 0, так что с — д1 —
= %k для некоторого k ? Кп, причем dk = 0. Это означает, что els (с) = els (с — дГ) = х* els (k) лежит в образе х*.
Для доказательства третьего включения напомним, что дЕ els (m) = els с, где с 6 Кп-и и существует элемент I ? Ln, для которого хс = dl, ol = т, как в (4.3). Если els с = 0, то существует такой элемент k' из Кп, что dk' = с. Тогда х dk' = dl, следовательно, д (/ — v.k') = 0. Значит, I — %k' есть цикл в L и а(1 — х&') =
= al — т, так что els (т) ? Imdr что и утверждалось. Этим доказательство закончено.
Рассмотрим категорию % коротких точных последовательностей цепных комплексов. Морфизмом ?->•?' в этой категории является
§ 4. Точная гомологическая последовательность
67
тройка (/, g, h) цепных преобразований, превращающая диаграмму Е: 0 ^ К L
1/ I* <4-5>
Е'\ 0-> К'-> L'-> М'О
в коммутативную. При каждом п, Нп (К), Нп (L), Нп (М) являются функторами аргумента Е.
Предложение 4.2. Для каждой последовательности Е связывающий гомоморфизм дЕ: Hn+i (М) (К) естествен.
Утверждение о естественности гомоморфизма дЕ означает, что диаграмма
Нм(М)--^Нп{К)
[нпо» <4-6>
Hn+i (М") —Нп (К')
коммутативна. Доказательство легко проводится методом «диаграммного поиска» в (4.5), использующим определение гомоморфизма дЕ. Полученный результат можно сформулировать в виде большей диаграммы
------>Hn+i (L) Hn+i (М) Нп (К) —*-+ Нп (L) -> • • •
j,#* |,/*
дЕ'
------» Нп+1 (L') —^ Нп.н (Af')---------------------> Нп ю —Нп (L’)
(4.7)
В этой диаграмме строки являются точными гомологическими последовательностями из теоремы 4.1, построенными для последователь* носгей Е и Е', а вся диаграмма коммутативна, например крайний слева квадрат коммутативен, потому что = (o'g)#, h#olj. = = (Асг)* и a'g ~ ho в -силу коммутативности диаграммы (4.5). Наш вывод можно сформулировать так: морфизм Е в Е' индуцирует морфизм точных гомологических последовательностей, построенных для Е и Е' соответственно.
Конус отображения цепного преобразования /:/(-> К' дает пример указанной точной последовательности. Задача заключается в том, чтобы индуцированные отображения /* : Нп (К) -> Нп (К') групп гомологий поместить в точную последовательность. Для этой цели построим комплекс М = М (/), называемый конусом
5*
Гл. II. Гомология комплексов
отображения преобразования / (иногда менее точно называемый цилиндром отображения преобразования /), положив
Мп = Kn-i. © Кп, д (k, k') = { — dk, dk' + fk).
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed