Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Гомология этого комплекса Нош (К, G) называется когомологией комплекса К с коэффициентами в G. Она является семейством абелевых групп, отмеченных верхними индексами,
Нп (К, G). = Нп (Нот (К, G)) = Кег бп/б Нот (Kn-i, G). (3.3)
Элемент из б Нот (Kn-i, G) называется п-мерной кограницей, а элемент из Кег б" — п-мерным коциклом. Значит, коцикл — это такой гомоморфизм /: /(„ ->G, что fd = 0 : Kn+i -*~G. Любое цепное преобразование h: К -> К' индуцирует цепное преобразование h* = Нот (А, 1) : Нот (К', G) ->¦Нот (К, G). Поэтому
Нот (К, G) и Я" {К, G) являются бифункторами, ковариантными
по G и контравариантными по К¦ Если s : h ~ g— гомотопия, то из (2.3) следует, что s„ d?+1 + dnSn-i — h* — gn- Следовательно, fn+x — (—l)u+1s* есть гомотопия t: h* ~ g*.
Более обще, мы можем определить комплекс Нотд (К, L) для любой пары К и L комплексов /^-модулей. Пользуясь нижними индексами, положим
Нот^К", L)= Д Нотд(/Ср, Lp+n), (3.4)
Р=—00
так что элементом f для Нот„ служит семейство гомоморфизмов fP:KP-+Lp +п, где — оо < р < оо. Границей dHf является семейство (дн f)p : Кр -> Lp+n-u где отображение (dHf)p определяется следующим образом:
(dHf)pk = dL(fpk) + (- 1 )n+1 /р-i(dKk), k?KP, f?Hom„; (3.5)
dL и дк обозначают граничные гомоморфизмы в L и К соответственно. Прямой подсчет показывает, что это определение действительно
64
Гл. II. Гомология комплексов
дает комплекс
(^н^н/)р k — дьдь (fpk) + (— 1 )n difp-idKk +
+ (-1 )n+1 dJv-idKk + (-1 )x /р-а (dKdKk) = О,
поскольку dL dL = 0 = дк дк. Ясно, что Ношн (К, L) есть бифунктор, ковариантный по L и контравариантный по К.
Знак в определении (3.5) выбран так, чтобы были справедливы следующие два результата.
Предложение 3.1. Если кольцо R рассматривается как тривиальный комплекс, то имеет место естественный изоморфизм Нош (R, L) ^ L, устанавливаемый сопоставлением каждому гомоморфизму fp: R -*¦ Lp его образа fp (1) 6 Lp.
Доказательство. Указанное сопоставление дает изоморфизм Нош (R, Lp) ^ Lp для каждого р. В этом случае в формуле взятия границы (3.5) нет члена с дк; оставшийся член -\-dLf показывает, что этот изоморфизм перестановочен со взятием границ.
Предложение 3.2. Цикл нулевой размерности комплекса Нош (К, L) является цепным преобразованием /: К -*-L; он является границей элемента s из Homi (К, L) тогда и только тогда, когда s есть гомотопия s : f ~ 0. г»
Доказательство. Формула (3.5) для взятия границы (со знаком) принимает вид
(dHf)p = dLfp—fp-ldK при п-0,
(dHs)p = dLsp 4- sp-idK при п = 1.
Поэтому равенство dHf = 0 означает, что / — цепное преобразование, а равенство dHs — f означает, что / = dLs + sdK, откуда s: f ~ 0, что и утверждалось. Эти выводы можно сформулировать как
Следствие 3.3. Группа гомологий Н0 (Нош (К, L)) есть абелева группа гомотопических классов цепных преобразований /: К ->~L.
В частности, если L = G — тривиальный комплекс, то граничный гомоморфизм дь равен нулю, а элемент / из Нош„ (К, G) — это просто гомоморфизм /: К-п -*• G> для которого dHf = = (—1)"+1Х fd: K-n+i -+G. При обозначениях с верхними индексами это означает, что элемент из Нош" (К, G) — это гомоморфизм f : Кп -+G с кограницей 6/ = (— 1)"+1/д. Это выражение совпадает с ранее введенной формулой (3.1) и объясняет использованный там знак.
§ 4. Точная гомологическая последовательность
65
Однако необходимо предупредить читателя, что в большинстве современных работ по когомологиям этот знак не используется, а вместо этого пишут б/ = fd.
§ 4. Точная гомологическая последовательность
Рассмотрим короткую точную последовательность
?:0^кД^Л М->0 (4.1)
цепных комплексов и цепных преобразований х, ст. Первое преобразование х имеет нулевое ядро, однако индуцированное отображение Нп (и): Нп (К) ~*~Нп (L) групп гомологий может иметь нетривиальное ядро, как показано в примере 1.3. Чтобы исследовать, когда это может произойти, отождествим К с подкомплексом %К комплекса L и рассмотрим цикл с из Кп, гомологический класс которого равен нулю в L. Это значит, что с = д1 для некоторой \п + 1)-мерной цепи 16 L и, следовательно, смежный класс / + Kn+i является циклом фактор комплекса ЫК = М. Обратно, любой гомологический класс из Hn+i (L/K) состоит из таких циклов / + Кп+и что д1 = с 6 Кп. и значит, ему соответствует гомологический класс else из Нп (К), который лежит в ядре Нп (х). Сопоставление смежному классу l+Kn+i элемента с определяет гомоморфизм Hn+i (L/K) -*¦ Нп (К), который мы теперь опишем детально.
Пусть в (4.1) т — цикл из Mn+i. Поскольку ст — эпиморфизм, можно выбрать такой элемент / ? Ln+1, что ст/ = т, и, поскольку дт = 0, имеем од/ = 0; раз последовательность Е точна, то существует единственный цикл с ? Кп, для которого хс = 61, что отображено в диаграммах
1 ---> т Ln+i ЛМпп
1 1 1а 1
