Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
О Кег / -+ К -U /('-+Coker / —> О
является точной.
Вместо использования нижних индексов, как в Кп, часто более удобно писать Кп для К-п и дп : Кп ->¦ Kn+l вместо 5_„ : К-п -*¦ K-n-i- Этим способом тот же самый комплекс записывается при помощи «верхних индексов».
Комплекс К положителен (т. е. неотрицателен), если Кп — О при п <. 0; его гомология также положительна [Нп (К) = 0 при п < 0]. Комплекс К отрицателен, если Кп = 0 при п > 0; эквивалентно комплекс положителен по верхним индексам и имеет вид
в0 в1 в2
.... 88 = 0,
причем гомология Я" (К) = Кег 6п/6Кп~1 положительна по верхним индексам. Записанный указанным способом комплекс часто называют «правым комплексом» или «коцепным комплексом». Под «коцепной гомотопией» s : f ~ g : К К' понимается цепная гомо-топия, записанная с верхними индексами, т- е- такое семейство отображений s" : Кп -*¦ л'"-1, что 6s + s6 = / — g. Появляющиеся на практике комплексы обычно или положительны, или отрицательны; общее понятие цепного комплекса полезно при проведении общих доказательств формальных свойств, подобных свойствам, сформулированным в теореме 2.1.
Каждый модуль А можно рассматривать как «тривиальный» положительный комплекс, у которого А0 = А, Ап =0 при п Ф 0 и д = 0. Комплекс над А — это положительный комплекс К вместе с цепным преобразованием в : К -> А; такое преобразование е — это просто модульный гомоморфизм 8: Ко А, для которого ед —
— 0 : Kt -*А. Стягивающей гомотопией для е: К ->-А называется цепное преобразование f: А -> К, для которого в/ = 1А, причем имеется гомотетия s: 1 ~/е. Другими словами, стягивающая гомотетия состоит из таких модульных гомоморфизмов /; А ->• Ко и s„ : Кп -*Кп+1, п = 0, 1, .... что
е/ = 1, a1s0 + /8=lJfo, a„+1s„ + s„_1a„ = l (n >0). (2.5)
62
Гл. II. Гомология комплексов
Эквивалентно, расширим комплекс, положив /C_i — А, д0 = г : /Со—^ ->/С-i и s_i = /. Тогда равенства (2.5) означают просто, что s 1 ~ 0 для отображений 1 и 0 расширенного комплекса в себя. Если преобразование е : К ->• А имеет стягивающую гомотопию, то группами гомологий являются группы е„ : Н0 (К) я* А при п = 0 и Нп (К) = 0 при п > 0.
В топологии встречаются комплексы К свободных абелевых групп. Если каждая группа /С„ имеет конечное число образующих, то и каждая группа Нп (К) является конечно порожденной абелевой группой. Структурная теорема для таких групп представляет Нп (К) как прямую сумму Z @ . . . @ Z @ Zmj ® . . . @ Zmft, где число Ьп бесконечных циклических групп и натуральные числа Ши • • ., mh (каждое из которых есть делитель следующего) зависят только от Нп (К). Число Ьп называется п-ц числом Бетти комплекса /С, а числа {тг} называются n-ми коэффициентами кручения.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Назовем комплекс S q-специальным, если Sn = 0 при пф q, q + I и д : Sq+i -+¦ Sq — мономорфизм. Доказать, что любой комплекс К свободных абелевых групп Кп является прямой суммой ^-специальных комплексов (для каждого q имеется только одно слагаемое).
2. Назовем g-специальный комплекс S абелевых групп элементарным, если Sq+! = Sq = Z или Sq = Z, Sg+1 = 0. Доказать, что каждый ^-спе-циальный комплекс S, у которого Sq, Sg-H — свободные абелевы группы с конечным числом образующих, есть прямая сумма элементарных комплексов. (Указание: использовать операции над строками и столбцами в целочисленной матрице для выбора новых базисов в Sg и в Sg+j.)
3. Доказать, что каждый комплекс, у которого Кп — свободные абелевы группы с конечным числом образующих, есть прямая сумма элементарных комплексов.
§ 3. Когомология
Пусть С — дифференциальная группа, a G — абелева группа. Построим абелеву группу С* = Homz (С, G); элементами этой группы служат групповые гомоморфизмы / : С -*• G, называемые коцепями группы С с «коэффициентами» в G. Дифференциал d: С->С индуцирует отображение d*:C*->~C*, определенное равенством d*f = fd : С -*¦ G; назовем d*f кограницей коцепи /; кограница часто записывается как б/ = d*f. Поскольку d2 = 0, (d*)9 = 0. Следовательно, группа С* есть дифференциальная группа с дифференциалом d*. Группа гомологий этой группы называется группой когомологий группы С с коэффициентами из G и обозначается как Н* (С, G) = Я (Нот (С, G)).
Пусть /С — комплекс R-модулей и G — R-модуль. Построим абелеву группу HomB (Кп, G); ее элементами служат модульные гомоморфизмы f: К.п G, называемые п-мерными коиепями комп-
§ 3. Когомология
63
лекса К- Кограница гомоморфизма / — это (п + 1)-мерная коцепь
8nf=(-l)n+1fdn+1:Kn+i->G.. (3.1)
Другими словами, дп+1 : Kn+i Кп индуцирует
а*+1: Нот (Кп, G) Нош (Кп+1, С) и 8п — (— l)n+1 d*n+i
(знак будет объяснен ниже). Поскольку б^б”-1 = 0, последовательность
6П-1 б**
... _» Ношд (Кп-и G)------> Ношл {Кп, G)------>
Ношд (Kn+i, G) —> • • • (3.2)
является комплексом абелевых групп, называемым Ногпн (К, G), причем обычно каждую группу записывают с верхним индексом: Нот" (К, G) = Нот (Кп, G). Если комплекс К положителен по нижним индексам, то комплекс Нош (К, G) положителен по верхним индексам.
