Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 23

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 227 >> Следующая

2. Для семейства Ct, t 6 Т, дифференциальных групп определить прямую сумму 2Cf и прямое произведение ПС* и доказать, что Н (2 С*) = 2# (С*),
Н (Пс() а ПН (С,).
§ 2. Комплексы
59
§ 2. Комплексы
В обычных дифференциальных группах С из § 1 мы можем некоторым элементам из С приписать целые размерности. Множество Сп всех элементов размерности п есть группа, а С есть прямая сумма Сп и дСп <= Более целесообразно иметь дело непосредственно с этим набором групп. Объект, который получается в результате, называется «комплексом» абелевых групп.
Для произвольного кольца R цепной комплекс К -модулей есть семейство {Кп, д„} /^-модулей Кп и /^-модульных гомоморфизмов дп : Кп -*-Кп-и заданных для всех целых п, — оо < п < оо, причем дп dn+i = 0. Это последнее условие эквивалентно утверждению, что Кег дп :э Imd„+1. Значит, комплекс К появляется как бесконечная в обе стороны последовательность
К: ... <— K-г К-i <— Ко Ki Кг <— ¦ ¦ ¦,
в которой произведение любых двух последовательных отображений равно нулю. Гомология Н (К) — это семейство модулей
Нп (К) — Кег dn/Im dn+i — (Кег Кп ^ Kn-i)/dn+tKn+i• (2-1)
Равенство Нп (К) — 0 означает, что последовательность К точна в Кп', п-мерный цикл комплекса К — это элемент подмодуля Сп (К)= = Кег дп, п-мерная граница — это элемент из dn+iKn+i- Тогда Нп = Сп/дКп+1 (фактормодуль модуля циклов по подмодулю границ). Смежный класс цикла с в Нп будет записываться как els с = с + dKn+i или как {с}, причем последнее обозначение часто встречается в литературе.
Говорят, что n-мерные циклы с и с' из одного и того же гомологического класса (els с = els с') гомологичны (с ~ с'); это будет тогда и только тогда, когда с —с' ? dKn+i-
Если К и К' комплексы, то цепным преобразованием f: К -*¦ К' называется такое семейство модульных гомоморфизмов /„ : Кп -»--> Кп, заданных по одному для каждого п, что д'„ fn = fn-i дп для всех п. Последнее условие означает, что коммутативна следующая диаграмма (на пунктирные стрелки не надо обращать внимания)
(Впоследствии мы обычно будем опускать индекс п у дп и штрих у <?' : Кп -*• K’n-i-) Отображение Нп (/) = /*, определенное равенством /* (с -j- дКп+i) = fc + dKn+i, является гомоморфизмом Нп (/) : Нп (К) -*- Нп (К'). С этим определением каждое Я„ стано-
60
Гл. II. Гомология комплексов
вится ковариантным функтором из категории цепных комплексов и цепных преобразований в категорию модулей.
Цепная гомотопия s между двумя цепными преобразованиями f, g : К -*• К' — это семейство модульных гомоморфизмов Sn : Кп -*• -+• /Сп+1 по одному для каждой размерности п [эти гомоморфизмы указаны в диаграмме (2.2) пунктирными стрелками], причем
dn+iSn~\~ sn-idn —fn gn- (2.3)
Мы будем писать s : f-~ g. Геометрический источник этого отношения отмечен в примере 7 § 1. С алгебраической же точки зрения справедлива
Теорема 2.1. Если s : f ~ g : /С -> К', то
Нп (f) — Hn ig): Нп(К) —> Нп (/('), —оо <п< оо. (2.4)
Доказательство. Если с — цикл из Кп> то дпс — 0; следовательно, ввиду (2.3), fnc—gnc — dsnC, что означает, что fnc и gnc гомологичны. Поэтому els fnc = els gnc в Hn (К'), что и требовалось доказать.
Говорят, что цепное преобразование /: К -*¦ К' есть цепная эквивалентность, если существуют другое цепное преобразование h: К' -*~К (в обратную сторону!) и гомотопии s: hf~ lK, t: fh~\K'-Поскольку Hn (1к) — 1, из теоремы 2.1 получаем
Следствие 2.2. Если f: К -*¦ К — цепная эквивалентность, то индуцированное отображение Нп (/) : Нп (К) ^ Нп (К') является изоморфизмом для каждой размерности п.
П р едложение 2.3. Если s : / ~ g : К К' и s' : f' ~
— g’ • К' -*¦ К" — цепные гомотопии, то цепной гомотопией является и отображение
f’s + s'g : f'f ~ g'g: К —> К”-
Доказательство. По условию имеют место равенства ds + sd = f — g и ds' + s'd — f' —g'. Для доказательства предложения достаточно умножить первое равенство слева на а второе справа на g и сложить.
Подкомплексы и факторкомплексы имеют свойства, аналогичные свойствам подмодулей и фактормодулей. Подкомплекс S комплекса К — это семейство таких подмодулей Sn а Iпо одному для каждого п, что dSn с= S„-i. Следовательно, S это комплекс с дифференциалом, индуцированным д = дк, причем вложение /: S -> К есть цепное преобразование. Если S — подкомплекс комплекса К., то факторкомплекс К IS состоит из семейства фактор-модулей (K/S)n = Кп/Sn и дифференциала д': Kn!Sn -+Kn-ilSn-u индуцированного дк. Проекция является в этом случае цепным
§ 2. Комплексы
61
преобразованием К -*• К IS и короткая последовательность модулей Sn» Кn -» (KIS)n точна для каждого п.
Если /: К К' — цепное преобразование, то Кег/ = {Ker /„} является подкомплексом комплекса К, Im / = {fnKn}— подкомплексом комплекса К', в то время как комплекс /('/Im / есть коядро /, а комплекс /(/Кег/ есть кообраз. Пара цепных / 8
преобразований К —* К' —> К" называется тонной в К', если Im / = Кег g, т. е. если каждая последовательность модулей Кп -*~ -*• К'п -*• Кп точна в Кп¦ Для любого /: К -*• К' последовательность комплексов
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed