Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
HnSK -> SHnK, тнпк —>нптк.
Распространить построение на бифункторы и получить гомологическое-умножение как специальный случай для Т = (g>.
§ 12. Спектральная формула Кюннета
Спектральные последовательности позволяют дать обобщение формулы Кюннета. Теорема 12.1. Если К и L — положительные комплексы правых и левых R-модумй соответственно и если
Н (Tot [Torm(K, L)]) = 0 для всех /п> 0, (12.1)
то существует такая спектральная последовательность первой четверти {Erp,q, dr}, что
?р,q= Б Тогр(Я8(К), Erp,q^H(K®L). (12.2)
s+t=q
Условие (12.1) этой теоремы требует, чтобы каждый из комплексов Тогто (К, L), определенный в замечании из § 11, имел нулевую гомологию при т > 0. Из выполнения более сильного условия плоскости каждого модуля Кп вытекает, что каждый Тогто (К, L) = 0 для т > 0, и поэтому выполнено условие (12.1). Для положительных комплексов предшествующая теорема Кюннета (теорема V. 10.2) содержится в теореме 12.1. Подробнее, уело-
§ 12. Спектральная формула Кюннета
509
вия теоремы V.10.2 требуют, чтобы модули Сп (К) и Вп (К) были плоскими, т. е. чтобы Тогр (Сп, (?) = 0 = Torp (Вп, G) для всех модулей G и всех р > 0. Поскольку последовательность Сп (К) >-* ¦» Кп Вп-1 (К) точна, следующая часть стандартной точной
последовательности для периодического умножения
Tort (Сп, G)—»Тог! (Кт G)-^ToT1(Bn-1, G)
точна, так что То^ (Кп, G) = 0, модуль Кп плоский, и, значит, условие (12.1) выполнено. Далее, последовательность Вп (К)» >* Сп (К) -» Нп (К) точна, поэтому последовательность
Тогр {Сп, G) -> ТоГр (Нп, G)-*Тогр-t (Вп, G)
точна и, следовательно, Тогр (Я„ (/С), G) — 0 при р > 1. Таким образом, в спектральной последовательности (12.2) E%,q — 0 при р Ф 0, 1, и, следовательно, она состоит только из двух столбцов и поэтому имеет нулевой дифференциал. Фильтрация комплекса Нп (К 0 L) равносильна следующей точной последовательности с ЕЬ,п и Е\,n_i:
0-> S Hs(K)®Ht(L)-+Hn(K®L)->
s-H=n
_> S Т0Г1(ЯЛК), Я,(1))->0.
S+f=™— i
Это и есть обычная точная последовательность Кюннета. Другими словами, теорема этого параграфа показывает, как более высокие периодические произведения комплексов Я (К), Н (L) действуют на Я (К ® L) через подходящую спектральную последовательность.
Эта теорема будет выведена из более общего результата.
Т е о р е м а 12.2. Если К и L — положительные комплексы соответственно правых и левых R-модулей с гипергомологией Шп(К, L), определенной в § 11, то существуют следующие две спектральные последовательности первой четверти:
Ер, ,4 8t(K, L)$=E'Zq, (12.3)
E’l q Яр (Tot [Torg (К, L)]), E"l Q s* S Torp (Hs (K), Ht (L)).
s+t=q
(12.4)
При выполнении предыдущего условия (12.1) первая последовательность сводится к базе, откуда Е„,о Нп (К <8) Ц,
и тем самым получается результат первой теоремы.
Доказательство. Выберем собственную проективную резольвенту У комплекса L и построим трикомплекс К ® У из (11.3) с тремя граничными дифференциалами di, дп, дш- Объединяя
510
Гл. XII. Производные функторы
первый и третий индексы, построим двойной комплекс:
Хр, q= S Ке ®Yq,t, 9' = dj + djjj, д" = дп. s+/=p
Тогда комплекс Tot X — Tot (К ® У) имеет гомологию 9i (К, L). Две спектральные последовательности этого двойного комплекса и будут давать требуемый результат.
В первой спектральной последовательности Е'РЛ = H'vH"q (X).
В каждой размерности t последовательность ------------>- Y(ht
Y0>t Lt -+¦ 0 является проективной резольвентой модуля Ltr поэтому периодическое произведение Tor9 (Ks, Lt) можно вычислить с помощью этой резольвенты как Hq (К ® У); оставшийся дифференциал д' = д/ + дщ является тогда граничным гомоморфизмом комплекса Torg (К, L). Следовательно, бикомплекс Е"2-совпадает с указанным в теореме.
Для второй спектральной последовательности компоненты комплекса X запишем с переименованными индексами как Хя,р, так что р есть по-прежнему индекс фильтрации для (второй) фильтрации и ??% = H'pHq (X). При фиксированном р, Хя,р = 2 К$ ® Yp,t с s + t = q — это в точности комплекс Tot (К 0 Yp) с дифференциалом д' = дг + дщ. В каждом комплексе Yp модули циклов и гомологий проективны по построению, так что применение тензорной формулы Кюннета (теорема V.10.1) с условиями на второй множитель дает
Hq (Хр) = Hq(K ®Yp)&sz S Hs(K)®Ht(Yp).
s+t=q
Теперь каждый комплекс Yp имеет вид S из (11.1), так что каждый модуль Нп (Yp) проективен, а определение собственных точных последовательностей комплексов показывает, что для каждого t последовательность
----->Ht (Yp) Ht 0V0 -*----------->Ht(Y0)-> Ht (L) -> 0
является проективной резольвентой модуля Ht(L). Тензорное умножение этой резольвенты на На(К) и взятие гомологии относительно д" есть стандартный метод вычисления для Тог (Н,(К), Ht(L)). Следовательно, мы получаем часть формулы (12.4), относящуюся к Ер,я.
