Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 11. Собственные проективные комплексы
Пусть Ж — абелева категория положительных комплексов К (левых модулей над некоторым кольцом) со всеми цепными преобразованиями / : К L в качестве морфизмов. Назовем короткую
f 8
последовательность комплексов К —*¦ L —> М собственной точной последовательностью, если для каждого п
(i) последовательность 0 ->• Кп -*¦ Ln Мп -> 0 точна и
(ii) последовательность 0 Сп (К) ->• Cn (L) -*• Cn (М) ->• 0 точна, где Сп (К) обозначает модуль n-мерных циклов из К-Поскольку из (i) следует точность слева последовательности (ii), условие (ii) можно заменить условием
(ii') отображение Сп (L) -*• Сп (М) является эпиморфизмом для всех п. Другими словами, цепной эпиморфизм g : L -+М собственный, если для каждого т 6 М, для которого дт = 0, существует / 6 L, для которого gl = т и dl = 0. Эквивалентно цепной мономорфизм f:K^L собственный, если для каждого I ? L, для которого dl ? /К, существует k в К, для которого dl = dfk. Учитывая эти характеристики, читатель может проверить, что класс собственных коротких точных последовательностей удовлетворяет аксиомам из § 4. Поскольку длинная точная последовательность является произведением Ионеды коротких точных последовательностей, справедлива
Лемма 11.1. Последовательность ----------------*•%-*¦ L -*-М ->•
комплексов является собственной точной тогда и только тогда, когда для каждой размерности п>0 последовательности ••• ^Кп -+Ln -*-Мп Nn • • • и ¦¦¦ -+Сп (К) Сп (L)
-> Сп (М) ->• Сп (N) точны.
Предложение 11.2. Если К>* L-» М является собственной короткой точной последовательностью комплексов, то для всех п точна каждая из следующих последовательностей-.
(iii) 0 ->ВП (К) -+Вп (L) Вп (М) ->-0,
(iv) 0-+Нп (К) (L) -*¦ Нп (М) -*~0,
§ И. Собственные проективные комплексы
505
(V) 0 — KJB* (К) -^LnlBn (L) -+Мп1Вп (М) ->-0,
(vi) 0 -+Кп1Сп (К) Ln/Cn (L) -+MnICn (М) -*0.
Доказательство. Модули Вп_ i (К) ~ дКп границ определяются с помощью короткой точной последовательности Сп (К)
>-»Кп Вп-. 1 (К)- Эти последовательности для комплексов К, L и М образуют 3x3 диаграмму со строками (ii), (i) и (iii), поэтому 3x3 Лемма устанавливает точность строки (iii). Гомология Нп (К) определяется с помощью точной последовательности Вп(К)‘ ^ Сп(Ю ^ Нп (К); 3x3 лемма устанавливает точность
последовательности (iv). Доказательства точности последовательностей (v) и (vi) проводятся аналогично с помощью последовательности Вп>* Кп’» Кп1Вп {К) и двойственного описания модулей гомологий через точные последовательности Нп (К) >-* ~ KJBn (К) -» KJCn (К).
Теперь построим собственные проективные комплексы. Для каждого модуля А и для каждого целого числа п введем специальный комплекс U = U {А, п), в котором Un — А и Um = 0 при тФ п. Если К — произвольный комплекс, то каждый модульный гомоморфизм а: А -*-Сп (К) определяет цепное преобразование h = h (а) : U (А, п) -*¦ К с hn равным произведению А -*¦ Сп (К)
—>- Кп\ все цепные преобразования h : U -*¦ К имеют этот вид.
Для каждого модуля А и каждого целого числа п введем специальный комплекс V — V (А, п), в котором Vn = Vn+i = А, а все остальные группы цепей равны нулю, причем д: Vn+i Vn есть 1А. Тогда Нт (V) = 0 для всех т. Если К — комплекс, то каждый модульный гомоморфизм у: А -> Kn+i определяет цепное преобразование h = h (7) : V (А, п) ->• К с hn+i = у, К = = ду; все преобразования h : V -+¦ К имеют этот вид.
Лемма 11.3. Для проективного модуля Р специальные комплексы U (Р, п) и V (Р, п) являются собственными проективными комплексами.
Доказательство. Пусть g: L -» М является собственным эпиморфизмом комплексов, и пусть h = h (у): V (Р, п) -*-М произвольное цепное преобразование. Тогда gn+i : Ьп+1->¦ Mn+t эпиморфизм, поэтому у: Р -*-Мп+4 можно провести через gn+i> g’n+jp — у, где р : Р Ln+i- Следовательно, h (у) накрывается преобразованием h (р) : V —L. В соответствующем доказательстве для U используется тот факт, что Сп (L) -*¦ Сп (М) является эпиморфизмом. Теперь справедлива
Лемма 11.4. Если Рп и Qn — проективные модули, то S=%U (Рп, п)@ %V(Qn, п) (11.1)
71=0 п=0
-506
Гл. XII. Производные функторы
<собственный проективный комплекс и #„ (S) зг? Рп, Вп (S) = Qn. Любой комплекс К, у которого все модули Нп (К) и Вп (К) проек-тивны, имеет этот вид.
Доказательство. Прямая сумма собственных проективных объектов является собственным проективным объектом. Положим Q_t = 0. Комплекс S имеет вид
• • • —> Qn+1 @ Рп+10 Qn —> Qn@Pn® Qn-1 —> • • •,
а дифференциал д индуцирован тождественным отображением Qn ~*~Qn, поэтому группы Н (S) и В (S) совпадают с указанными в лемме. Последнее утверждение устанавливается индукцией с использованием того факта, что каждое расширение с помощью проективного модуля расщепляется.
Теперь мы можем доказать, что имеется достаточно собственных проективных комплексов.
Лемма 11.5. Для каждого комплекса К существует собственный проективный комплекс S вида (11.1) и собственный эпиморфизм h: S -» К комплексов.
