Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 211

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 205 206 207 208 209 210 < 211 > 212 213 214 215 216 217 .. 227 >> Следующая

32*
500
Г л. XII. Производные функторы
аргумента А. Действительно, Тп (С) можно определить (Ионеда [1960], Хилтон — Рис [1961]) как
Тп (C)=Nat homA (Ext" (С, А), Т (А)).
Тем самым дается другое определение периодических умножений. Мы уже отмечали, что аддитивная категория является «кольцоидом» (в ней выполнены обычные аксиомы кольца, но умножение не всегда определено). В том же смысле каждый ковариантный аддитивный функтор Т из М в категорию абелевых групп является левым «JS-модулоидом» (аксиомы для левого модуля над кольцом; умножения не всегда определены), а контравариантный функтор S — это правый J^-модулоид. Ионеда [1960] определил соответствующее тензорное произведение 5®^Г и использовал его для построения
сателлитов. Пусть опять Т — контравариантный аддитивный функтор. Короткие точные последовательности Е : А >-» В -» С, оканчивающиеся фиксированным объектом С, можно частично упорядочить: Е' Е, если существует морфизм (а, р, 1д) : Е' -*¦ Е\ тогда эти последовательности Е образуют «направленный» класс; прямой предел ядер отображений Т (Л) -*¦ -*¦ Т (В), взятый по этому направленному классу, дает правый сателлит функтора Т (Буксбаум [I960]), определенный таким способом без предположения о существовании достаточного числа проективных объектов. Это построение было подвергнуто дальнейшему изучению Амицуром [1961]; Рёрль [1962] установил теорему существования сателлитов для полуточных функторов и применил ее к теории пучков. Для любого аддитивного функтора, который не полуточен, нужно различать производные функторы, сателлиты и косателлиты; их взаимосвязи изучаются в работе Батлера и Хор-рокса [1961].
Производные функторы неаддитивных функторов изучались Дольдом и Пуппе [1961], с использованием итерированных В-конструкций. В самом деле, группы гомологий Hn+h (П, п; G) группы П дают много примеров неаддитивных функторов (Эйленберг — Маклейн [1954а]). Классическим примером является функтор Г Дж. Уайтхеда [1950]. Для каждой абелевой группы А, Г (А) — это абелева группа с образующими [у (а) | а 6 А] и определяющими соотношениями у (—а) = у (а) и
у(а + Ь-\-с) — у(а + Ь) — у(а+^)~у(г,+с) + У(а)+У(г’) + У(с)=0-Эти соотношения верны для «возведения в квадрат» у (а) = а2.
§ 10. Умножения и универсальность
Универсальные свойства производных функторов можно часто использовать для построения гомоморфизмов типа и-умножения для когомологии группы П. В схеме обозначений § 7 возьмем в качестве М категорию абелевых групп, в качестве & — категорию всех левых П-модулей и в качестве & — класс Z-расщепляющихся коротких точных последовательностей П-модулей. Мы сначала покажем, что в категории & имеется достаточно собственных инъективных объектов.
Для каждой абелевой группы М построим П-модуль JM = = Homz (Z (П), М) с левыми операторами, определенными для каждого H Jm формулой (xf) г — f (гх), где х 6 П, г 6 Z (П). Это левые операторы, индуцированные правой П-модульной
§ 10. Умножения и универсальность
501
структурой группового кольца Z (П). Определим гомоморфизм е = ем '- Jм —> М абелевых групп, положив е (/) = / (1) для каждого / : Z (П) —> М. Он имеет обычное коуниверсальное свойство, двойственное свойству из предложения VI.8.2.
Лемма 10.1. Если А — левый U-модуль и если h : А —> —> М — гомоморфизм абелевых групп, то существует такой единственный П-модульный гомоморфизм у : А ->• Jm, что еу = h.
h е
Доказательство. Рассмотрим диаграмму А—>М<— <— JM.
Для выполнения равенства еу — h требуется, чтобы для каждого а(Е А и каждого х 6 П имело место равенство
h (ха) = е[у (ха)] = [у (ха)] 1 = [х (уа)] 1 = (уа) х.
Обратно, если определить у формулой (уа) х = h (ха), то у будет П-гомоморфизмом и будет удовлетворять равенству еу = h.
Стандартным рассуждением теперь показывается, что каждый модуль JM относительно инъективен. Кроме того, если А — любой П-модуль, то по лемме имеется единственный П-модульный гомоморфизм у : A -vHornz (Z (П), А) = JА, для которого еу — 1А. Следовательно, у — собственный мономорфизм и у : А JA вкладывает каждый модуль А в собственный инъективный объект. Значит, имеется достаточно собственных инъективных объектов.
Пусть для каждого П-модуля С Сп обозначает подгруппу П-инвариантных элементов из С. Ковариантные функторы
Яр (G) = Нр (П, С) = Extg(n)i 2 (Z, С)
имеют связывающие гомоморфизмы для каждой собственной последовательности Е:
Е^:НР(С)->НР+1(А), Е: А»В-»С,
определенные, например, с помощью умножения Ионеды и дающие обычную точную последовательность. Кроме того, Hv (J) — 0 при р > 0 для каждого собственного инъективного объекта J (любое расширение собственного инъективного объекта расщепляется). Следовательно, Яр (С) — правые производные функторы функтора Н° (С) = Си.
Лемма 10.2. Для каждого фиксированного целого числа q и каждого фиксированного U-модуля С' функторы Нр (С) ® Hq (С') образуют компоненты универсальной последовательности функторов с &-связывающими гомоморфизмами Я* <g) 1.
Предыдущая << 1 .. 205 206 207 208 209 210 < 211 > 212 213 214 215 216 217 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed