Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 210

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 204 205 206 207 208 209 < 210 > 211 212 213 214 215 216 .. 227 >> Следующая

f°:T°->-T'0 продолжается до единственного преобразования f : Z
(ШЬ) Т° = Т, последовательность (9.3) точна и Тп (J) = О при п > 0 для каждого инъективного объекта J.
Наконец, заменим М на J?op в I.
IV. Пусть Т : & -*-№ есть ^-точный слева контравариантный функтор (например, Т {А) = Нотн (Л, G)). Предположим, что в <#¦ достаточно собственных проективных объектов. Проективная резольвента е : X -*-А порождает отрицательный комплекс Т (X) в М и, следовательно, производные функторы Тп (А) = = Нп (Т (X)) и связывающие гомоморфизмы, которые образуют отрицательную связанную последовательность {Тп, Еп}; при этом каждой последовательности Е отвечает комплекс
... -±Tn-1(A)?lTri(C)->Tll(B)->Tn(A)-> ..., (9.4)
т. е. получается контравариантный функтор % : Шдо (Л) который характеризуется одним из свойств:
(IVa) Т° = Т и функтор X универсален;
(IVb) Т° = Т последовательность (9.4) точна и Тп (Р) = О при п > 0 для каждого проективного объекта Р.
Суммируем эти результаты в следующей таблице (примеры указаны с фиксированным модулем G):
То Вариант Произ $ Резольвента Тип Тп (А)
ность водные
I. Точный Ко Левые Коуниверсаль- Проективная То г™ (G, А)
справа ный
II. Точный Контра Левые Коуниверсаль- Инъективная ?
справа ный
III. Точный Ко Правые Универсальный Инъективная Ext™ (G, А)
слева
IV. Точный Контра Правые Универсальный Проективная Ext™ (A, G)
слева
Таким образом, изменение вариантности или изменение точности слева на точность справа приводит к перестановке используемых типов резольвент.
§ 9. Производные функторы
499
Например, если Л является К-алгеброй, & — категория левых Л-модулей, 8* — класс К-расщепляющихся коротких точных последовательностей Л-модулей и 31 — категория К-модулей, то НотЛ (С, А) есть точный слева функтор. Как функтор только аргумента С, он контравариантен (случай IV); его правые ^-производные функторы — это Ext(\, к) (С, А). Как функтор аргумента А, НотЛ ковариантен (случай III); его правые ^-производные функторы снова задаются последовательностью функторов Ext"Ai к) (С, А), в этом случае со связывающими гомоморфизмами для второго аргумента А.
Замечания. Характеризация функторов. Для категорий модулей точные справа или слева аддитивные функторы часто даются только обычными функторами 0 и Нот. Именно (Уоттс [I960], Эйленберг [I960]): если С — фиксированный S-R-бимодуль, то тензорное умножение на С левых R-модулей фА дает ковариантный функтор Тс (Л) = С <g) ^Л, точный
справа и переводящий (бесконечные) прямые суммы в прямые суммы. Любой функтор Т с этими свойствами из категории R-модулей в категорию S-модулей имеет указанный вид для некоторого модуля С, а именно для С — Т (R). Точно также любой точный слева контравариантный функтор Т из категории R-модулей в категорию S-модулей, который превращает (бесконечные) прямые суммы в полные прямые произведения, естественно эквивалентен функтору Т (А) — Ногп^, (Л, С) для некоторого левого (R 0 5)-модуля С
(вновь С = Т (R)). Наконец (Уоттс [I960]), любой ковариантный точный слева функтор из категории R-модулей в категорию абелевых групп, который перестановочен с обратными пределами, имеет вид Т (Л) = Hom^j (С, Л)
для подходящего С. Митчелл [1962] обобщил эти теоремы на подходящие абелевы категории.
Бифункторы. Пусть Т0 (С, Л) есть бифунктор, аддитивный и точный справа по каждому переменному в отдельности. Заменим оба аргумента проективными резольвентами и возьмем полный комплекс результирующего бикомплекса; тогда его гомология дает левые производные функторы Тп (С, Л), как, например, для Тогп (С, Л) как бифунктора (теорема V.9.3). Этот и связанные с ним случаи, отличающиеся вариантностью, более детально рассмотрены Картаном и Эйленбергом. Эта теория не нужна для функтора С® А, потому что этот бифунктор становится точным, когда один из аргументов замещается проективным объектом, так что производные функторы можно построить с помощью случая одного переменного. Подходящий пример — это трифунктор С ® В ® А для трех модулей над коммутативным кольцом, который нужно рассматривать как функтор от двух переменных. Его производные функторы, называемые Trip,,, встречаются в формулах Кюннета для гомологии тензорного произведения трех комплексов (Маклейн [I960]). До настоящего времени не существует, по-виднмому, способа охарактеризовать производные функторы от двух и большего числа переменных «универсальными» свойствами, нли «аксиомами». Например, подходящее определение тензорного произведения двух абелевых категорий позволило бы свести бифункторы к функторам от одного переменного.
Другие построения производных функторов. Если Т0—точный справа ковариантный функтор, определенный в категории всех модулей, то каждая последовательность S ?? Ext" (С, Л) дает итерированный связывающий гомоморфизм S* : Тп (С) Т0 (Л), так что каждый эЛемеяТ < f Гп (С) порождает естественное преобразование Ext" (С, Л) -*¦ То (А) функторов
Предыдущая << 1 .. 204 205 206 207 208 209 < 210 > 211 212 213 214 215 216 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed