Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
da — q — p, db = p — q,
b dp = 0 = dq. (1.3)
Рис- !• Каждый элемент из С (S1) един-
ственным образом представим как линейная комбинация mta + т2Ь тгрmkq с целыми коэффициентами mit m2, т3 и т4, в то время как
d (mta + тф + т3р + т$) = (q — р) + т2 (р — q) =
= (mi — m2)(q — p).
Таким образом, С (S1) становится дифференциальной группой. Ее циклы — это все целые линейные комбинации р, q и а + Ь, в то время как границами являются все кратные элемента q — р. Следовательно, р и q гомологичны, и группа гомологий является прямой суммой
Я (С (S1)) = Zco (els (р)) © Zoo (els (а + b)), (1.4)
где Zoo (els (p)) обозначает бесконечную циклическую группу, порожденную гомологическим классом els (р). Значит, окружность S1 имеет два основных гомологических класса: точку р (размерность 0) и окружность а+b (размерность 1).
В этом примере та же самая окружность могла быть разделена и по-другому, например на большее число дуг. Группы гомологий оказываются независимыми от выбранного разбиения. Например, изоморфные группы гомологий возникают, если окружность разделена на три дуги так, чтобы получился треугольник!
Пример 2. Возьмем треугольник А с вершинами 0, 1 и 2 и сторонами 01, 12 и 02. Соответствующая дифференциальная группа С (Д) является свободной абелевой группой с шестью образующими (0), (1), (2), (01), (12), (02) и дифференциалом, заданным равенствами d(0) = d( 1) = d(2) = 0, d (01) = (1) - (0), d (02) = (2) - (0),
§ 1. Дифференциальные группы
55
d (12) = (2) — (1); другими словами, граница каждой стороны есть разность ее концов. Можно убедиться в том, что
Я (С (Л)) = Zoo (els (0)) е^со (els [(12) - (02) + (01)]).
Эта группа в действительности изоморфна группе гомологий окружности, найденной в примере 1: обе группы являются свободными абелевыми группами с двумя образующими. Изоморфизм между этими группами может быть получен из некоторого гомоморфизма f дифференциальной группы С (S1) в С (А); положим, к примеру, /(р) = (0), /(<?) = ( 1), f (а) — (01) и f (6) = (12) - (02). Тогда df (b) = fd (b), df (а) = fd (а) и f переводит образующие циклы р и а + b из Н (С (S1)) в образующие циклы (0) и (12) — -(02) + (01) группы Я (С (Л)).
Вообще пусть С и С' — две дифференциальные группы. Гомоморфизмом / : С -*¦ С' дифференциальных групп называется групповой гомоморфизм с дополнительным свойством fd = d'f; другими словами, это отображение группы С в группу С', которое сохраняет целиком заданную алгебраическую структуру (сложение и дифференциал). Отсюда следует, что образ fc цепи с из С является циклом или границей всякий раз, как с — цикл или граница соответственно. Следовательно, отображение Я (/) = определенное посредством равенства /* (els (с)) — els {fc), есть групповой гомоморфизм
Я (/): Я (С) —> Я (С') (при /: С —> С'). (1.5)
Мы назовем Я (/) гомоморфизмом, индуцированным /. Поскольку Я (1С) = 1н(с> и Я (f'f) — Я (/') Я (/), то Я является ковариант-ным функтором из категории дифференциальных групп в категорию абелевых групп.
Пример 3. Круговой диск (круг) D получается добавлением внутренней части с к окружности S1; соответствующая дифференциальная группа С (D) строится путем добавления к С (S1) нового свободного образующего с с границей dc = а + Ь. Тогда Я (С (D)) = Zoo (els р). Вложение /: С {S1) -*-С (D) индуцирует отображение Я (/) : Я (С (S1)) ->Я (С (D)), которое отображает второе слагаемое из (1.4) в нуль. Другими словами, гомоморфизм Я (/), индуцированный вложением, может не быть мономорфизмом, т. е. группа гомологий подпространства может не быть подгруппой группы гомологий самого пространства. Поэтому мы и обозначаем вложение / символом, отличным от единицы.
Пример 4. Пусть и — верхняя, а I — нижняя полусферы сферы S2 с экватором S1 (см. рис. 2). Построим дифференциальную группу С {S2) добавлением к С (S1) двух новых свободных образующих и и I с границами du = а + Ь = — dl. Тогда
Я (С (S2)) = Zoo (els (р)) @ Zoo (els (и + /)), (1.6)
56
Гл. II. Гомология комплексов
значит, имеется цикл р размерности 0 и oai/h цикл размерности 2.
Пример 5. Действительная проективная плоскость Р2, рассматриваемая как топологическое пространство, может быть получена из сферы S2 отождествлением каждой точки из S2 с диаметрально противоположной точкой. В частности, каждая точка верхней полусферы отождествляется с точкой нижней полусферы. Это наводит на мысль, что с алгебраической точки зрения целесообразно положить и — — I, а = b и р — q в указанной в предыдущем примере дифференциальной группе С (S2). Тем самым получается новая дифференциальная группа С (Р2), которая
является свободной абелевой группой со свободными образующими и, а и р и дифференциалом
du = 2a, da = 0, dp = 0. В этой группе цикл а не есть граница,
