Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 208

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 202 203 204 205 206 207 < 208 > 209 210 211 212 213 214 .. 227 >> Следующая

Доказательство. Поскольку Еп : Тп (С) -»> Tn-i (Л) является морфизмом из М, a U — функтор, UEn : UTn (С) ->• (Л) является морфизмом из М’. Поскольку U сохраняет точность, условие (8.3) для коуниверсальности выполняется.
Замечание. Если функтор U не точен, то описание левого сателлита UTo в терминах U и То включает важную спектральную последовательность (Картан—Эйленберг XVI, §3; Гр’отендик [1957], стр. 147).
494
Гл. XII. Производные функторы
Чтобы иметь дело с отрицательными связанными последовательностями
-----» То (С) —> Т1 (А) —> Т1 (В) Т1 (С) Тг (А) • • •
ковариантных функторов Тп : & ->• М, мы используем градуированную категорию М~, ее объекты {Rn} — это семейства объектов из М, причем Rn — 0 при п < 0; ее морфизмы ц степени k>0 это семейства : Rn -+¦ R'n+h} морфизмов из 31. Ковариантный функтор ? : %$> (&) -*31- является теперь отрицательной связанной последовательностью функторов Тп : & -+31, почти как в предложении 8.1.
Контравариантные функторы требуют внимания к знаку. Так, если § и SS — градуированные аддитивные категории, то контравариантный функтор ? : g сопоставляет каждому объекту
G объект ? (G) из и каждому морфизму у : бц-МЗг из & — морфизм ? (у) : ? (G2) -*? (Gi) той же степени в причем ? (1G) — = Ja:(G) и
? (М*) = (- l)(degYl) (degYa) ? Ы ? М (8.4)
в соответствии с правилом знаков. Естественное преобразование f :?'-»• % степени d является функцией, которая сопоставляет каждому объекту G из "3 морфизм f (G) : ?' (G) -*¦ ? (G) степени d из $8 таким образом, что
? (Y) f (<?*) = (_l)<d*v>(**f) f (Gj) ?' (y); т. e., за исключением знака, обычное правило.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что условие Т„ (Р) — 0 нельзя опустить в следствии 8.5: использовать Т’п (Л) = Тп (Л) ® Тп_! (Л).
2. Описать контравариантный аддитивный функтор @ (М) .5?+
как подходящую связанную последовательность функторов из М в Sk.
§ 9. Производные функторы
Стандартный метод состоит в следующем: нужно взять резольвенту, применить к ней ковариантный функтор Т: J?, взять
гомологию результирующего комплекса. При этом получается связанная последовательность функторов, называемых производными функторами функтора Т.
Подробнее, пусть в категории достаточно собственных проективных объектов. Каждый объект А имеет тогда собственную проективную резольвенту е : X ->Л. Если г' : X' -*¦ А' есть вто-
§ 9. Производные функторы
495
рая такая резольвента, то теорема сравнения накрывает каждый морфизм а : А -*• А' цепным преобразованием / : X ->• X', и любые два таких преобразования гомотопны.
Поскольку функтор Т аддитивен, он переводит гомотопии в гомотопии, и поэтому индуцированное цепное преобразование Т (f) : Т (X) Т (X') в № определено с точностью до гомотопии. Следовательно, формула Ln (Л) = Нп (Т (X)) определяет! функцию от Л, не зависящую от выбора X, а формула Ln (а) = = Нп (Т (/)) : Ln (А) Ln {А') превращает Ln в ковариантный функтор fr -+-М. Он называется п-м левым производным функтором функтора Т.
Пусть теперь Е : Л >¦» В -» С есть любая собственная короткая точная последовательность из fr. Возьмем допустимую проективную резольвенту е: К -*-Е в категории коротких точных последовательностей, описанную в теореме 6.4; эта резольвента равносильна короткой точной последовательности X » W -» У комплексов из fr, где X ->А, W -> В и Y -*-С—собственные проективные резольвенты; кроме того, Wn = Хп 0 Yn для каждого п. Так как функтор Т аддитивен, то последнее равенство показывает, что Т (X) >* Т (W)-» Т (Y) является короткой точной последовательностью комплексов в М, которая дает связывающие гомоморфизмы Нп (Т (Y)) —>• Hn_i (Т (X)) для п > 0. Поскольку X — резольвента Л и У — резольвента С, это есть гомоморфизм ?* = = Ln (Е) : Ln (С) -*¦ Ln-i (Л). Общая теорема сравнения для допустимых резольвент (теорема IX.4.3) показывает его независимость от выбора резольвенты К и показывает, что Ln (Е) есть естественное преобразование функторов аргумента Е.
Теорема 9.1. Для каждого аддитивного ковариантного функтора Т : fr -*¦ Л левые производные функторы Ln : fr -+¦ Л и связывающие гомоморфизмы Ln (Е) образуют положительную связанную последовательность функторов, в которой функтор L0 &-точен справа. Эта последовательность коуниверсальна относительно начальной компоненты L0. Если функтор Т &-точен справа, то L0 — Т.
Доказательство. Если Р — собственный проективный объект, то резольвента Р -*• Р показывает, что Ln (Р) = 0 при п > 0. Для каждой собственной точной последовательности Е точность длинной последовательности (8.1) для L„ = Тп вытекает из обычной длинной точной последовательности гомологий комплексов Т (X) >-» Т (IF) -» Т (Y). В частности, функтор L0 точен справа. Связанная последовательность {Ln, Ln (Е)} удовлетворяет условиям следствия 8.5 и, следовательно, коуниверсальна.
Предположим, что исходный функтор Т сР-точен справа. В любой резольвенте часть Xt -*~Хо -*~А ->0 точна справа, следовательно,
Предыдущая << 1 .. 202 203 204 205 206 207 < 208 > 209 210 211 212 213 214 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed