Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
-4S, ?*. Т).
Прежде чем доказывать обратное утверждение, отметим, что диаграмма (7.7) подсказывает определение 5 (С) как ядра морфизма Т (К) ->-Т (Р). Рассмотрим каждуЛ собственную короткую точную последовательность Е : А >* В -» С как комплекс в ^ с размерностями 1, 0, —1. Тогда Т (Е) : Т (Л) ->» Т (В) -*• Т (С) — комплекс в М\ его одномерная гомология (Т (Е)) является (отме-
§ 7. Связанные пары аддитивных функторов
487
ченным) объектом категории J2, который делает последовательность О ->Н1(Т(Е))ЛТ(А)->Т{В), М (7.10)
точной. Каждый морфизм Г = (а, 0, у): Е ->-?' собственных коротких точных последовательностей из # определяет цепное преобразование Т (Г) : Т (Е) -> Т (?') и, следовательно, индуцирует морфизм
Hi (Г): Hi {Т (Е)) —* Hi (Т (?')), М,
который характеризуется равенством p'Hi (Г) = Т (а) ц. Кроме того, морфизм Hi (Г) зависит только от у, Е и ?' и не зависит от аир.
Действительно, пусть Г0 = (а0, Р0, v) : ?-»-?' — любой другой морфизм с тем же -у. В диаграмме
В-*С
а~Ч У 1°
а' (р — Ро) = 0, поэтому Р — р0 = *'s для некоторого s : В -+¦ А'. Далее, х' (а — а0) = (р — Ро) х = x'sx, поэтому, учитывая все сказанное, sx = а — а0, x's = р — р0. Значит, s — гомотопия Г ~ Г0. Поскольку функтор Т аддитивен, Т (s) — гомотопия Т (Г) ~ Т (Г0) : Т (?) Т (?'), так что (Г) = Hi (Г0). Теперь существуют:
для каждого объекта С из # короткая проективная резольвента ?с;
для каждого у : С -*• С' из & морфизм Tv = (—, —, 7) : Ес -+¦ -*-Ес;
для каждой собственной точной последовательности ? из fr морфизм ЛЕ = (—, —, 1) : Ес ->?.
Лемма 7.3. Если задан ковариантный функтор Т : fr -*-32 и если выполнены приведенные выше условия, то равенства S (С) = = Hi (Т {Ес)), S (у) = Hi (Tv) : S ( С) -*• S (С') определяют ковариантный аддитивный функтор S \ fr -*• М, а равенство
Et = tiHi(AJ!):S(Q->T(A),
в котором ц имеет тот оке смысл, что и в (7.10), определяет цепное преобразование, превращающее пару (S, ?,, Т) в связанную пару, которая удовлетворяет условию (ii) теоремы 7.2.
Доказательство. В силу замечаний о Hi (Г) S (С) не зависит от выбора Ес, а также 5 (1) = 1. При умножении
488
Гл. XII. Производные функторы
S (T1V2) = 5 (?i) S (уг)- Если Г = (а, Р, -у) :?-*•?' — морфизм собственных коротких точных последовательностей, то ГЛЕ и Лв'Гу : ?с ->• Е' имеют общий член у, поэтому преобразование Е„ естественно. Свойство (ii) выполняется по построению.
Этим доказано, что из (i) в теореме 7.2 следует (ii), так как любая коуниверсальная слева пара (S0, ?#, Т) должна совпадать с построенной выше парой, а последняя удовлетворяет условию (ii). Это построение дает также теорему существования:
Теорема 7.4. Если в категории & достаточно собственных проективных объектов, то каждый ковариантный аддитивный функтор Т: А -*•$ имеет левый сателлит (S, Е*, Т).
Следствие 7.5. Пусть (5, ?#, Т) &-связанная пара. Если для каждой д3-связанной пары (S’, ?#, Т) с тем же функтором Т существует такое единственное естественное преобразование f : S’ -+-S, что (f, 1) : (5', Е#, Т) ->-(5, ?*, Т) есть морфизм пар, то пара (S, ?*, Т) &-коуниверсальна слева.
Доказательство. Использовать условия для сравнения пары (S, ?*, Т) с левым сателлитом функтора Т, который, как известно, существует и коуниверсален.
Двойственной к теореме 7.2 является
Теорема 7.6. Если в категории & достаточно собственных инъективных объектов, то связанная пара (Т, ?*, S) кова-риантных функторов 8*-универсальна справа тогда и только тогда, когда каждая собственная короткая точная последовательность
с собственным инъективным объектом J индуцирует точную справа последовательность
Кроме того, если дан функтор Т, то функтор S с этим свойством однозначно определен; он называется правым сателлитом функтора Т. Таким образом, каждый функтор Т имеет левый сателлит (коуниверсальный) и правый сателлит (универсальный).
Доказательство. Двойственность обращает все стрелки одновременно и в &, и в 31, заменяет «проективные объекты» на «инъективные», дает ?* от Т к S и оставляет функторы Т и S кова-риантными.
сР-связанная пара (Т, Е*, S) контравариантных функторов состоит из двух таких функторов Т, S : .& -*» 31 и функции, которая сопоставляет каждой собственной короткой точной последователь-
T.(J)->T(K)->S(C)-> О
31.
§ 7. Связанные пары аддитивных функторов
489
ности Е : А» В -» С из fr комплекс
Т(С)—>Т(В) —> Т(А)—> S (С)—> S (В) —> S (А), М,
являющийся функтором аргумента Е. Пара универсальна справа тогда и только тогда, когда для каждого естественного преобразования f : Т ->-Т' и каждой связанной пары (Т , ?#, S') существует единственное естественное преобразование g : S S', которое делает пару (/, g) морфизмом связанных пар.
Теорема 7.7. При наличии достаточного числа собственных проективных объектов контравариантная пара (Т, Е*, S) универсальна справа тогда и только тогда, когда каждая собственная последовательность К>* Р С с собственным проективным объектом Р индуцирует точную последовательность
