Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
S' (С) Т (А)
I КС) jg(A) (7.4)
S(C) ^lT(A), Ж,
коммутативна для каждой собственной последовательности Е. Другими словами, морфизм (/, g) сопоставляет каждому объекту Л морфизмы / (Л) : S' (Л) -+-S (A), g (А) : Т' (Л) -+-Т (Л) категории .91, которые в совокупности образуют цепное преобразование комплексов (7.3). Эти условия на / и g можно выразить следующими равенствами:
/<*# = <*•/, gE#=*E*f, ga# = a.g, (7.4а)
где a# — сокращение для S'(а) или Т' (а), а* — сокращение для S (а) или Т (а).
Связанная пара (S, ?*, Т) &-коуниверсальна слева, если для каждой связанной пары (S', Е#, Т') и каждого естественного
§ 7. Связанные пары аддитивных функторов
485
преобразования g : Т' -> Т существует такое единственное естественное преобразование / : S' -+-S, что пара (/, g) является морфизмом связанных пар. Короче, коуниверсальность слева пары (S, ?*, Т) означает, что если дано g, то диаграмму (7.4) можно единственным образом дополнить до коммутативной с помощью естественного /. Аналогично ^-коуниверсальность справа пары (S, Т) означает, что при заданном / существует единственное g. Точно так же пара (S', Е#, Т') &-универсальна справа, если при заданной, паре (S, Е0, Т) и заданном / существует единственное преобразование g, удовлетворяющее (7.4).
Если задан функтор Т, то обычным образом показывается, что существует не более одной ко универсальной слева пары (S, Еш, Т) с точностью до естественных эквивалентностей функтора S. Эта пара и, выражаясь не точно, этот функтор S называются левым сателлитом функтора Т. Отметим любопытный факт: если (S, Еф, 7) — левый сателлит, то и (S, —?*, 7) —^левый сателлит, требуется только изменить знак у каждого морфизма ?* и у каждого / в (7.4).
Теорема 7.2. Если в категории & достаточно собственных проективных объектов, то эквивалентны следующие условия относительно сР-связанной пары (S, 7) ковариантных функторов:
(i) пара (S, Е„ 7) &-коуниверсальна слева;
(ii) для каждой собственной короткой точной последовательности К >* Р С последовательность
О -> S (С) -> Т (К) -> Т (Р), М, (7.5)
точна слева всякий раз, когда Р — собственный проективный объект.
Поскольку имеется достаточно проективных объектов, для каждого объекта С из & существует собственный эпиморфизм а: Р -» С собственно проективного объекта Р; этим путем получается собственная точная последовательность
Ес:0-+ К Л Р->С->0, х = ис. (7.6)
Она является первым шагом при построении собственной проективной резольвенты объекта С; мы назовем ее короткой проективной резольвентой.
Чтобы доказать, что из (ii) следует (i), мы должны построить для заданного преобразования g преобразование /, указанное в (7.4). В коммутативной диаграмме для Е = Ес
S' (Р)----> S' (С) Г (К) —Г (Р)
|/(с> 1#(ю \g(P) (7.7)
о-----> S (С) Т (К) —Л Т (Р), я
486
Гл. XII. Производные функторы
первая строка является комплексом, а нижняя строка точна по условию. Следовательно, Еп — мономорфизм, поэтому морфизм f (С) определен однозначно, если вообще существует. С другой стороны, Т (х) g (К) ?# = g (р) Т (х) ?# = 0, так что g (К) проходит через Еп 6 ker (Т (х)), g (К) Е# = для единственного морфизма | : 5' (С) ->-5 (С). Положим / (С) = |. Этот морфизм вставляется вместо пунктирной стрелки и делает диаграмму коммутативной.
Теперь возьмем любую собственную короткую точную последовательность Е' — (х', а') : А' >* В' -» С' и любой морфизм у : С -*¦ С' из В диаграмме
Е:0->К -»Р ->С -*0
1* (7.8)
Е':0->А'->В’->С'->0,
из категории Р — собственный проективный объект, так что ее можно дополнить (теорема сравнения!) до морфизма (а, р, 7) : Е -*¦ Е1. Мы утверждаем, что
E',S (v) f(C) = g (А’) ?#5' (у): 5' (С) Т (А'), М. (7.9)
Действительно, аЕ = Е’у и в обозначениях (7.4а) E+yJ = a^Ej — = ajrE# = Мы уточним этот результат (7.9)
в двух направлениях.
Во-первых, пусть у : С ->• С' — некоторый морфизм из Возьмем в качестве Е’ короткую проективную резольвенту Е&, используемую для определения морфизма f (С'), который удовлетворяет равенству g (К') E# = E'J (С'), как в (7.7). Тогда А' = К' и Е« — мономорфизм, поэтому из (7.9) получаем ¦S (у) f (Q = f (С') S' (у). Это означает, что преобразование / : 5' -> S естественно. При С = С' и у = 1 последнее равенство показывает, что морфизм / (С) не зависит от выбора fc-
Во-вторых, пусть Е’ — некоторая собственная короткая точная последовательность, оканчивающаяся объектом С' = С. Возьмем
V = 1. Тогда (7.9) принимает вид E'J (С) = g (А') Е#; последнее означает, что fag коммутируют со связывающими гомоморфизмами и, следовательно, образуют, как в (7.4), морфизм пар (S', Е#, Т') ->•
