Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 2

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 227 >> Следующая

Комплексы дают нам средство для вычисления гомологии. Каждый n-мерный «сингулярный» симплекс Т топологического пространства X имеет границу, состоящую из сингулярных симплексов размерности п—1. Если Кп — свободная абелева группа, порожденная всеми этими n-мерными симплексами, то функция д, которая сопоставляет каждому Т альтернированную сумму дТ его граничных симплексов, определяет гомоморфизм д : Кп -*• Kn-i-Таким образом возникает (гл. II) состоящий из абелевых групп Кп и граничных гомоморфизмов д «комплекс» вида
О^-Ко^-К^КгАКзД... •
Кроме того, дд = 0, так что ядро Сп гомоморфизма д: Кп Kn-i содержит образ dKn+i¦ Факторгруппа Нп (К) = Cn/dKn+i есть п-я группа гомологий комплекса К или исходного пространства X. Часто меньший или более простой комплекс достаточен для вычисления тех же самых групп гомологий пространства X. Если дана группа П, то существует соответствующий комплекс, гомология которого совпадает с гомологией, определенной для группы. Например, одномерная группа гомологий группы П — это факторгруппа П/[П,П] группы П по ее коммутанту.
Гомоморфизмы соответствующего типа связаны с каждым типом алгебраической системы; относительно умножения гомоморфизмов системы и их гомоморфизмы образуют «категорию» (гл. I). Если
10
Введение
С и А — абелевы группы, то множество Нот (С, А) всех групповых гомоморфизмов А также является абелевой группой. При
фиксированной группе С это есть ковариантный «функтор», заданный в категории всех абелевых групп А; каждый гомоморфизм а : А А" индуцирует отображение а* : Нот (С, А) Нот (С, А'), которое переводит каждый гомоморфизм f :С А в произведение а/. Если группу А зафиксировать, то Нот — контравариантный функтор: каждый гомоморфизм у:С*->С индуцирует отображение у* в противоположном направлении, Нот (С, А) Нот (С\ А), переводя / в произведение fy. Таким образом, применение Нот (?, А) к комплексу К = ? переворачивает стрелки и дает комплекс Нот (Ко, А) Нот (К и А) _?? Нот (Кг, А)-*- .... Здесь факторгруппы (Kernel д*)/( Image д*) дают когомологию Нп (К, А) комплекса К с коэффициентами в А. В соответствии с происхождением К это дает когомологию пространства X или группы П.
Расширение группы А с помощью группы С — это такая груп-па В гэ А, что BIA а* С; на языке диаграмм расширение является последовательностью
?:0—>Л—>?—>С—>0
абелевых групп и гомоморфизмов, точной в том смысле, что ядро каждого гомоморфизма равно образу предыдущего гомоморфизма. Множество Ext1 (С, А) всех расширений А с помощью С оказывается абелевой группой и функтором от аргументов С и А, кова-риантным по Л и контравариантным по С.
Вопрос: определяет ли гомология комплекса К его когомологию?
Ответ: почти да, при условии, что каждая абелева группа Кп свободна. В этом случае группа Нп (К, А) определяется «с точностью до группового расширения» группами Нп (К), Нп_i (К) и А; именно, «теорема об универсальных коэффициентах» (гл. III) дает точную последовательность
0 -> Ext1 (Я„_! (К), А) Нп (К, А) -> Нот (Н„ (К), А) -> 0,
включающую только что введенный функтор Ext1. Если группы Кп не свободны, то получается более сложный ответ, включающий спектральные последовательности, описанные в гл. XI.
Тензоры возникают из векторных пространств U, V и W и билинейных функций В (и, v), определенных на U х V со значениями в W. Построим векторное пространство U ® V, порожденное символами и ® v, билинейными по и ?U и v ? V и только. Тогда и ® v — универсальная билинейная функция: для всякой били-
Введение
11
нейной функции В существует единственное линейное преобразование Т: U 0 V W, для которого В {и, v) = Т {и ® и). Оказывается, что элементы из V ® V совпадают с классическими тензорами (с двумя индексами), связанными с векторным пространством V. Две абелевы группы А и G имеют тензорное произведение А ® <3, порожденное билинейными символами а 0 g; оно является абелевой группой и функтором, ковариантным по А и G. В частности, если К — комплекс, то и Л (g) it : Л ® Ко •*- А ® Ki будет комплексом.
Вопрос: определяет ли гомология комплекса К гомологию комплекса А ® Ю
Ответ: почти да; если каждая группа Кп свободна, то существует точная последовательность
О -+,А®Нп (К) -*Нп(А®К)-+ Tor, (А, Нп_ 1 (К)) -» 0.
Здесь Toti (A, G) — новый ковариантный функтор от абелевых групп А и G, называемый «периодическим умножением»; он зависит (гл. V) от элементов конечного порядка из А и G и порождается подчиненными подходящим соотношениям парами элементов а 6 А и g 6 G, для которых существует такое целое число т, что та = 0 = mg.
Возьмем декартово произведение двух пространств X х Y. Можем ли мы подсчитать его гомологию по гомологии пространств X и F? Изучение комплексов, построенных из симплексов (гл. VIII), сводит этот вопрос к вычислению гомологии тензорного произведения К® L двух комплексов. В это вычисление вновь через точную последовательность входит тензорное умножение (теорема Кюннета, гл. V):
0—> S Нр(К) ® Hq,(L) Нп (К <8> L)—>
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed