Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 5.1. Если & — собственный класс коротких точных последовательностей абелевой категории &, Е = (и, а) : А >-> >-> В С собственная короткая точная последовательность и G — некоторый объект, то существует точная последовательность абелевых групп
Ext^T1 (л, G) Ext>(С,G) %
? Ех& (В, G) ^ Ехф,(Д, G) ...,
отображения в которой задаются с помощью умножения; в частности, Еп (cls S) = (— \)п cls (S о Е).
Двойственная теорема устанавливает точность обычной длинной последовательности в том случае, когда Е замещает второй аргумент, как в теореме II 1.9.1.
Доказательство. Немедленно проверяется, что 0п?п-1 _ упап _о и Епкп — 0. Будем писать «ex'1 | и"» для сокращения утверждения о точности пары (or", и”). Мы должны доказать, что
Еп-г\ап, оп\хп, нп\Е\ n = 0, 1, ...; =
Для п = 0 и для Е° | а1 доказательство такое же, как для модулей, с незначительными изменениями.
Чтобы показать, что а11 х1, рассмотрим последовательность Е' 6 Ext^> (В, G), для которой Е'к = 0. Это означает, что последовательность Е’к расщепляется, поэтому определение (4.2) для
§5. Ext без проективных объектов
475
?'х эквивалентно коммутативности диаграммы
?'х: 0 G А -> 0
1! **
?': 0-* G и' сг' 0
-> # ---->
II 1 р А®
У
Ео ’¦ G а т с,
----->•------->
в которой ц — мономорфизм по теореме 1.2. Кроме того, аа' 6 coker ja, так как аа'р, — ахя2 = 0, если = 0 для некоторого ?, то ?х' = ?|щ = 0, откуда ? = г\о’ для некоторого т), для которого 0 = г)а'|л = т]хя2. Поскольку я2 — эпиморфизм, х\% = 0, и значит, т] проходит через о, т] = ?а. Следовательно,
? проходит через оо', так что мономорфизм ц ? ker (оо') собствен-ный ввиду (Р-3').
Для заполнения пунктирной части диаграммы используем собственное вложение i2 : A -»-G ® А, возьмем р ? coker (рл2) и а = рх'. Поскольку аа'рл2 = ахя212 = 01А = 0, аа' проходит через р : аа' = тр, где т — собственный эпиморфизм по (Р-4'). Теперь вместо G всюду в первой строке поставим 0, я2 заменим на 1А и |х — на |Л12. В результирующей 3x3 диаграмме собственны точные столбцы и точны первые две строки; по 3x3 лемме третья строка точна и собственна, поскольку эпиморфизм т собственный. Следовательно, эта строка есть Е0 6 Ext^o (С, G); диаграмма утверждает, что Е0а = ?'. Значит, ст1 j х1.
Лемма 5.2. Если хп | Еп для всех собственных последова- • тельностей Е, то Еп | ап+1 и ап+х | xn+1.
В доказательстве мы опустим символ & в Ext^> и будем записывать как хЕ и аЕ два ненулевых морфизма короткой точной последовательности Е — ЫЕ, аЕ). Они дают удобные конгруэнтности: (предложение II 1.1.7)
кеЕ = 0, Еое == 0.
Сначала предположим, что an+1S г= 0 для последовательности S ?? Extn+1 (С, G). Запишем S как произведение 5 = Т о F, где Т ?6 Ext". Следовательно, 0 = Sa = Т (Fa); по предположению (Е заменяется на Ео) имеется такая последовательность U в Ext”, что Т = UxFa, значит, S == U (xFCT?). Но-(•UfaF) о = (Fo) = 0, поэтому доказанное ранее утверждение
?° | а1 устанавливает наличие морфизма а, для которого xFcr F =
= аЕ. Таким образом, S = U (x^F) == (Ua) Е = ± Еп (Ua), что-и требовалось установить.
474
Гл. XII. Производные функторы
Затем мы хотим доказать, что всякую последовательность S 66 Extn+1 (В, G), для которой Sx == 0, можно представить в виде S == Vo для некоторой последовательности V 66 Ext'l+1. Доказательство проводится аналогично предыдущему с использованием а11 х1 вместо ?° | ст1.
Доказательство теперь сводится к установлению соотношения *п | Еп для всех п > 1.
Рассмотрим случай х1 \ Ег; утверждается, что если = О для последовательности F 66 Ext1 (A, G), то F = F'ke для некоторой последовательности ?'. Чтобы разобрать этот случай, мы должны вникнуть в миогоступенное определение отношения конгруэнтности FE == 0. В действительности мы докажем несколько больше.
Лемма 5.3. Если F 6 Ext1 (A, G) и ? 6 Ext1 (С, Л), то следующие три свойства эквивалентны:
(i) F == F'y.e для некоторой последовательности F' 6 Ext1;
(ii) Е = op Е’ для некоторой последовательности Е' 6 Ext1;
(iii) FE ~ 0.
Чтобы доказать, что из (i) следует (ii), запишем коммутативную диаграмму для морфизма F -*• F’, определяющего F'y.e, в виде
f: 0 —> G ->9% А —>0
II I1*
F' ;0->G • Л В ->0
I \аЕ
С = С
с последним столбцом Е. Здесь jj, — мономорфизм в силу построения коуниверсального квадрата для ?'хв. Вставим оЕ ст' вместо пунктирной стрелки. Этот морфизм является собственным эпиморфизмом и принадлежит coker fx, что доказывается так же, как и для ста' в предыдущей диаграмме. Средний столбец является теперь собственной короткой точной последовательностью ?', и построенная диаграмма утверждает, что оРЕ' = ?, что и требовалось доказать. Доказательство обратного утверждения двойственно проведенному.
