Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 4.1. Прямая сумма двух собственных коротких точных последовательностей является собственной точной последовательностью.
Доказательство. Прямая сумма морфизмов щ : At -> -*¦ В i — это морфизм
°i © а2 — чал igCtgfta • Ах © А% —> В, © В%, (4.1)
30*
468
Гл. XII. Производные функторы
где я* : Ai © Аг ->-At и ij : В3 ->-Bi © В2. Если х || а и X |) т, то легко доказать, что (х © X) || (а © т). Следовательно, достаточно показать, что из х, X ? <^т следует х © X ? еРт. Поскольку х © Я = (х © 1) (1 © Я), в силу (Р-3) достаточно доказать, что х © 1 6 йР„г. Таким образом, мы хотим доказать для каждого D, что если (х, а) : А » В -» С — собственная точная последовательность, то и (х © 1, o') : А © D В @ D -» С — собственная точная последовательность. Здесь а' = ая, где я : В © D В — проекция прямой суммы, которая в силу (Р-2) собственна. Следовательно, эпиморфизм а' = ая — собственный по (Р-3'), и поэтому мономорфизм х © 1 ? ker а' — собственный, что и требовалось доказать.
Две собственные короткие точные последовательности Е = = (х, а) и Е’ = (х', а') от Л к С называются конгруэнтными, если существует такой морфизм 0, что 0х = х', а'0 = а. Ввиду короткой леммы о пяти гомоморфизмах любой такой морфизм 0 необходимо есть эквивалентность.
Предложение 4.2. Если собственная короткая точная последовательность Е — (х, а) : Л » В С расщепляется морфизмом а: С-*-В, аа — 1с, то а — собственный мономорфизм, и последовательность Е конгруэнтна прямой сумме. Обратно, любая последовательность, конгруэнтная прямой сумме, расщепляется.
Доказательство. Поскольку а (1 — аа) =0, 1 — а а проходит через х 6 ker а, 1 — аа = хР и Ра = 0, рх = 1А. Результирующая диаграмма Л В ±; С может быть сравнена с диаграммой прямой суммы с помощью обычной эквивалентности 0 : А © С ->В, где а = 0i2 и i2 — вложение С ->-Л © С. Далее, б — эквивалентность и, значит, собственный морфизм. Поэтому чх = 0i2 — произведение собственных мономорфизмов и, следовательно, собственный мономорфизм. Доказательство обратного утверждения еще проще.
Для любых объектов С и Л, Ext^o (С, А) теперь определяется как множество всех классов конгруэнтности собственных коротких точных последовательностей Е: А >-» В -» С; по аксиоме IX. 1 о множестве расширений мы можем рассматривать Ext^o как множество. Теперь покажем, что Ехф имеет все формальные свойства, установленные для ExtR, где R — кольцо.
Теорема 4.3. Для каждого собственного класса & коротких точных последовательностей абелевой категории, Ext^o (С, А) является бифунктором, определенным в категории &. Сложение Et + E2 = Va (Ei © Ег) Ас превращает его в бифунктор в категорию абелевых групп.
§ 4. Собственные точные последовательности
469
Доказательство подобно доказательству для R-модулей. Существенный шаг состоит в доказательстве того, что Ext go контравариантный функтор аргумента С; как и в лемме III. 1.2, мы должны построить для каждой собственной последовательности Е и каждого морфизма у: С' ->С из & однозначно определенную коммутативную диаграмму
Е': 0 -> А D С'-> О
II (4.2)
? :0-^ А Л В Л С-+ О
с первой строкой Е' — собственной точной последовательностью (здесь 0 обозначает нулевой объект 0'). Сначала построим правый квадрат при помощи конструкции теоремы 1.1. По теореме 1.2 а' — эпиморфизм. Построим второй квадрат
А Л С'
Iх
в Л с.
Свойство коуниверсальности первого квадрата определяет морфизм x':A->D, для которого Рх' = х и сх'х' = 0. Диаграмма (4.2) теперь построена и коммутативна.
Для доказательства точности Е' рассмотрим произвольный морфизм для которого сх'? = 0. Значит, cxpg = уо’\ = 0, поэтому Р? проходит через х 6 кег а, Р? = ха = Рх'а для некоторого а. Но а' 1 = 0 = а'х'а, поэтому коуниверсальность D для морфизмов ? и via с областью значений D показывает, что ? = х'а. Поскольку любой морфизм ?, для которого = 0, проходит через и' и поскольку ог'х' = 0, х' ? кег а'.
В доказательстве собственности Е' используется прямая сумма. По построению коуниверсального квадрата D, р и а' определяются точной слева последовательностью
0 n,v = 0, n2v = o'.
Морфизм v может не быть собственным, однако
vx' = (4Я1 + 12я2) vx' == црх' + i2cx'x' = цх.
По аксиоме (Р-2), ц 6 &т\ теперь аксиома (Р-4) показывает, что х' в аГ\п и, таким образом, последовательность Е' собственна.
Из коуниверсальности квадрата в D теперь вытекает, что морфизм (1, р, y) : Е’ ->-Е собственных коротких точных последовательностей коуниверсален относительно морфизмов (аь Pi, Yi): Ei -*¦ Е в точном соответствии с леммой II 1.1.3.
470
Гл. XII. Производные функторы
Теперь определим Еу как Е'. Этим задано действие справа мор- ; физмов у на Е; из коуниверсальности Е’ вытекает, что Ext^o — контравариаитный функтор аргумента С. Доказательство того, что Еxtjf> (С, А) — ковариантный функтор аргумента А, двойственно, и его нет нужды приводить; доказательство того, что это бифунктор, можно дословно повторить (лемма II 1.1.6); подобное же повторение, использующее предложение 4.1, показывает, что Ехф (С, А) —абелева группа.
